Un  posible nuevo juego de lotería podría estar basado en secuencias de ADN. Para conseguir premios, debería acertarse la secuencia completa o, al menos, una parte significativa de la misma. Cada apuesta sería una única secuencia de un número de bases ( A,T,G,C) significativo expresado en una sola fila, pudiéndose jugar el nº de apuestas que el apostante quisiera.

En cuanto al nº significativo de la apuesta estaría relacionado con la cantidad de opciones posibles de secuencias. Así, si la secuencia es, por ejemplo, de 6 unidades, las opciones de secuencias sería de 4 elevado a 6 = 4.096 posibles resultados de la secuencia ganadora del sorteo; 65.536 si fuese una secuencia de 8; 1.048.576 si fuese de 10; 16.777.216 si fuese de 12;….. Lógicamente, cuanto más larga es la secuencia, más opciones y menor probabilidad de que se acierte realizando una apuesta.

Lo mismo sucede con las actuales loterías.

Por ejemplo:  En euromillones, las combinaciones posibles de 5 números (entre 1 y 50) = Combinaciones de  50 elementos tomados de 5 en 5 =50!/ 5!. (50-5)! = 2.118.760  y los complementarios (entre 1 y 12) = Combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2 = 12!/ 2!. (12-2)!= 66    y para que se den todas las combinaciones posibles del 1º premio habrá que multiplicar ambas cantidades ya que son extracciones independientes : 2.118.760 x 66 = 139.838.160  combinaciones posibles. Esto supone que la combinación ganadora de cada sorteo será 1 de las 139.838.160 . Y la posibilidad de que te toque el premio gordo es de 1 entre 139.838.160= 0,000000007151124 en tanto por uno y en porcentaje 0,0000007151124% = 7,151124 x 10 elevado a -7 %. Son necesarias, por tanto, y desde el punto de vista estadístico,  que en cada sorteo se jueguen 139.838.160 apuestas para que exista un acertante del primer premio. En multiples ocasiones el premio gordo queda sin ganador ya que dificilmente se llegan a cubrir tan gran número de apuestas.

En nuestro caso proponemos una lotto con más posibilidades de acertar, aunque ni tanto ni tan poco. Es más similar a la quiniela futbolística  en la que existen 3 opciones por fila, en un total de 14= 3 elevado a 14 = 4.782.969.

Proponemos el  ejemplo de  que sean 12 filas pero con 4 opciones/fila (A,T,G,C que son los nucleótidos componentes del ADN) para constituir una secuencia  de 12.

A continuación ponemos un ejemplo de resultado concreto en un posible sorteo:

La secuencia ganadora sería T A G A T C T T G A C T  (de la 1ª  la 12ª fila).

Vayamos ahora a ver los prosibles aciertos y sus probabilidades. ¿Cuantas secuencias que jugasemos podrían obtener premio?; ¿Qué posibilidades tendríamos de acertar?

La fórmula por la que resolver las cuestiones anteriores sería (a +b) elevado a la n; siendo «a» la posibilidad de acertar en cada fila (en este caso 1/4); «b«, la posibilidad de no acertar en cada fila (3/4) y «n» el número de filas . Siendo todos los sumandos de la resolución de este binomio (polinomio al resolver su potencia) los correspondientes a los aciertos concretos de cada caso:

 

Así para 12 aciertos (pleno de aciertos) ; a =1/4 , b= 3/4 ; por tanto= 1. (1/4)elevado a 12 = 1/ 16.777.216 = 0,00000006, que se corresponde con el primer sumandodel desarrollo de la formula;  y en tanto por ciento 0,000006%. Otra forma de verlo es que tendría que haber un número de apuestas diferentes de 16.777.216 para encontrar 1 ganador

La posibilidad, por ejemplo de 11 aciertos vendría dada por el segundo sumando del desarrollo de la formula anterior  12. a11. b = 12 x (1/4) elevado a 11 x 3/4 = 12 x 1/4.194.304 x 3/4 = 36/16.777.304 = 0, 00000215. En porcentaje 0.000215%

Y así seguiríamos sucesivamente, siguiendo cada uno de los sumandos de la formula anterior.

Por ejemplo:

Para concocer cuantos aciertos y probabilidad tendrá  un apuesta concreta de obtener exactamente 6 aciertos, habría que aplicar el sumando 924 (*) x (1/4) elevado a 6 x (3/4) elevado a 6 =924  x 1/4096 x 729/4096 = 673.596/16.777.216 =0,04014945;  o sea un 4% de obtener exactamente 6 aciertos de los 12. Ell numerador nos indicaría el nº de apuestas a jugar para tener «certeza» estadística de obtener ese resultado y el denominador del quebrado nos indicaría las secuencias posibles totales.

(*) 924 es el coeficiente binomial , (12,6) .

A continuación indicamos todos los aciertos posibles, una vez realizados los cálculos donde cada sumando que se corresponde con los diferentes sumandos del desarrollo de la fórmula indicada.

12 aciertos = 1/16.777.304

11 acietos y 1 fallo = 36 / 16.777.304

10aciertos y 2 fallos = 594 / 16.777.304

9 aciertos y 3 fallos = 5.940 / 16.777.304

8 aciertos y 4 fallos = 40.095 / 16.777.304

7 aciertos y 5 fallos =192.456 / 16.777.304

6 aciertos y 6 fallos = 673.596 / 16.777.304

5 aciertos y 7 fallos = 1.732.104 / 16.777.304

4 aciertos y 8 fallos = 3.247.695 / 16.777.304

3 aciertos y 9 fallos = 4.330.260 / 16.777.304

2 aciertos y 10 fallos = 3.897.234 / 16.777.304

1 acierto y 11 fallos = 2.125.764 / 16.777.304

0 aciertos y 12 fallos= 531.441 / 16.777.304

Curiosamente una apuesta tiene más posibilidades de conseguir 3 aciertos que de conseguir 2 o 1 o ninguno. Una apuesta al azar tiene más posibilidades de obtener 3 aciertos que de obtener cualquier otro nº concreto de aciertos. Es más difícil no acertar ninguno, en una apuesta al azar, que de obtener 1,2,3,4,5,6.

 

-Por otro lado, si queremos conocer si una apuesta tendría la probabilidad  de obtener más de 7 resultados de los 12 posibles habría que sumar   y, en este caso la cantidad del numerador nos indicaría el nº de apuestas que tendríamos que jugar para obtener -estadísticamente- el resultado deseado (7 o más) y el resultado de la fracción la probabilidad de que, jugando una sola apuesta obtuviésemos 7 o más aciertos. Si realizamos los cálculos  serían (1+36+594+5.490+40.095+192.456) / 16.777.216 = 239.122/16.777.304 = 0,01425271, y en porcntaje 1,42%. En este caso, si hubiese 100.000 apuestas, habría -estadisticamente- 1.425  acertantes de 7 o más de la combinación ganadora.

-También, conociendo la mecánica del juego, podemos simplificarlo haciendo que el número de filas sea inferior  al de 12. Así, por ejemplo, podemos hacer una lotto de 6 filas y así los números y probabilidades de acierto serían mayores. Responderían al desarrollo del polinomio (1/4 + 3/4 ) elevado a 6. Aplicando la fórmula….

-Acierto en 6 = (1/4) elevado a 6 = 1/4096 = 0,000244140625 y en porcentaje = 0,0244%

-Acierto en 5 = 6 x (1/4) elevado a 5 x 3/4 = 6 x 1/1024 x 3/4 = 18/4096 = 0,00439453. Y en porcentaje = 0,44%

-Acierto en 4 =  15 x ( 1/4 ) elevado a 4 x (3/4) elevado a 2 = 15x 1/256 x 9/16 = 135/4096 = 0,03295898 = 3,29%

-Acierto en 3 =  20 x ( 1/4 ) elevado a 3 x ( 3/4 ) elevado a 3 = 20 x 1/64 x 27/64 = 540/4096= 0,13183594= 13,18%

-Acierto en 2 = 15 x ( 1/4 ) elevado a 2 x (3/4) elevado a 4 = 15 x 1/16 x 81/256 =1215/4096 = 0,2966 = 29,66%

-Acierto en 1 = 6 x ( 1/4 ) elevado a 1 x (3/4) elevado a 5 = 6 x 1/4 x 243/ 1024 = 1458/4096 = 0,35595703. Y en porcentaje 35,6%

-0 Aciertos =  (3/4) elevado a 6 = 729/4096 = 0,17797852. Y en porcentaje 17,8%

Si, en este caso dedicamos a premios lo que se supone que tendrían que recibir los aciertos en 6, 5 y 4 aciertos, dedicaríamos a los premios el (0,0244 +0,44 + 3,29 =) 3,75% de lo recaudado, se quedaría la banca  con el 96,25% de la recaudación.

Normalmente se dedica un mayor porcentaje a premios, en función de lo que la banca estime para que los premios sean «jugosos» (inviten a jugar) y para que la banca obtenga un rendimiento económico (máximo beneficio).

Los premios se reparten entre los diferentes acertantes con derecho a premio en igual o distinto porcentaje, normalmente incrementandolo en el premio mayor para estimular a mayor número de jugadores, y así, aumentar la recaudación. Lo mismo para el segundo premio e igualmente para los sucesivos respecto a los siguientes.

Sugerencia a los estudiantes para conseguir fondos para el viaje de fin de estudios: planificar una ADN lotto para tal fin, estimando cuántas filas, posible venta de apuestas, precio de cada apuesta,  recaudación estimada, premios y su cuantía, normas del sorteo, estimación del beneficio obtenido, etc.