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13
octubre

Matemáticas y ADN (4)

 

Palíndromos y Re-palíndromos (4)

En el artículo anterior relacionamos las posibles secuencias de una de las hebras del ADN o del ARN (En este caso la complementariedad es A-U y G-C) con las posibles secuencias palíndromo (continuos o interrumpidos) que se podían presentar en ellas.

También podemos buscar las razones matemáticas para relacionar los palíndromos con los diferentes ADNs. Para ello tendremos que tener en cuenta que sólo los palíndromos continuos forman la misma molécula de ADN, mientras que los discontinuos no; ya que tienen parte NP y, por definición, no pueden ser idénticas en esa zona en ambas cadenas.

Conclusión :

La relación entre secuencias palíndromo (de cualquier tipo) y el nº de ADNs diferentes de ese mismo nº de unidades es de 1/2 en ADNs de nº impar y un poco menor en ADNs de nº par de unidades, aunque muy próximo a esa misma cantidad (1/2) .  Esto significa que si escribimos la secuencia de un ADN al azar, existe  1/2 de probabilidad de que contenga algún tipo de palíndromo.

Las secuencias palíndromo desempeñan diferentes funciones biológicas.

Muchas de ellas sirven de señalización (identifican puntos de interés en el ADN para, por ejemplo, localizar secuencias,  determinar lugares del ADN donde se unen determinados factores de transcripción o también en determinadas secuencias promotoras y terminadoras del mismo proceso,  lugares para escindir el ADN por enzimas de restricción o endonucleasas (tipo II) o también lugares  donde el ADN se “metila” para desactivar genes) o también como regiones transcribibles para que el ARN resultante pueda formar horquillas de apareamiento como en el caso de los ARN ribosómicos y transferente y los ARNmic transcritos primarios que originan los ARN-i (ARN de interferencia) . Las secuencias palíndromo también se encuentran presentes en los sistemas genómicos bacterianos CRISPR: CRI-SPR; las iniciales SPR (Short Palindromic Repeats = repeticiones palindrómicas cortas) que actúan de encaje a las secuencias espaciadoras, responsables directas de la inmunidad adquirida bacteriana, y  que es utilizado en la actualidad para la edición génica con múltiples aplicaciones.

 Los palíndromos en el ARN : RE-PALÍNDROMOS

Es frecuente observar que algunos tipos de moléculas de ARN (ejemplo: ARNt y ARNr) no tienen una estructura lineal, sino que en diferentes lugares presentan estructura doble (partes diferentes  de la cadena se han hibridado) presentando una estructura compleja tridimensional variada en su forma, incluso ARNs de estructura circular. Esto es debido a que las secuencias que hibridan son palíndromicas (por complementarias) y a su vez, en el intermedio de las mismas puede haber otras secuencias también palindrómicas produciéndose una primera y una segunda,.. hibridación en ellas. Casos que podríamos denominar re-palíndromos. En la imágenes  inferiores puede observarse la estructura lineal (rodeado de elipses en rojo las regiones palíndromas) de uno de los ARNt  y debajo su estructura tridimensional.

Su secuencia Re-palindrómica: 5´-P1-NP1-P2-NP2 (bucle izqdo.)-P´2-NP-P3-NP3( bucle anticodon)-P´3-NP4 (semibucle derecho)-P4-NP5 (bucle derecho)-P´4P´1-NP7-3´.

LOS PALINDOMOS EN EL ADN- Ver artículos Blog DNA didactic : Palindromos de ADN 1, 2 y 3 (http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-del-adn-palindromos-1/  http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-de-adn-palindromos-2-2/  http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-de-adn-palindromos-3/ )

 

 

 

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5
octubre

Matemáticas y ADN (1)

ADNs diferentes (1)

La genética y su ADN se prestan para realizar actividades de tipo matemático en diferentes  aspectos. Todo es cuestión de ponerse a ello.

1.-  Empecemos por calcular el nº de  ADNs diferentes por sus secuencias
Por ejemplo: Calcula el nº de ADNs diferentes por su secuencia de 8 pares de bases (8 unidades en cada cadena)

Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que el ADN tiene 2 cadenas complementarias y antiparalelas que forman su secuencia con 4 tipos de unidades (nucleótidos: A, T, G y C) que se siguen unas a otras de todas las formas posibles, admitiendo la repetición de cualquiera de ellas.

Complementarias significa que si en una de las cadenas hay una A, en la otra debe haber una T (y lo mismo al revés) y si en una de ellas hay una G, en la otra tiene que haber una C enfrentada a ellas.

Antiparalelas quiere decir que frente a la A, en la otras cadena hay T pero como si estuviese al revés (con el palo transversal de la T boca abajo) igualmente con T y A (vértice hacia abajo) y con G y C. De tal forma que en una de las cadenas “leemos” su secuencia de izquierda a dcha. y la otra de  dcha. a izquierda.

Aclarado a lo que nos enfrentamos, iniciamos la resolución.

1.1.- Vamos allá con la cuenta de la vieja: Imaginamos una secuencia de 2 pares de bases

-Veamos las secuencias posibles en UNA de sus cadenas.

a- La primera unidad de las 2 puede ser A ó T ó  G ó C (4 posibles) y la segunda unidad puede tener las mismas 4 posibilidades( A,T,G ó C):  AA, AT, AG, AC, TA, TT, TG, TC, GA, GT, GG, GC, CA, CT, CG y CC , constituyen las 16 posibles secuencias en una de sus cadenas que se calcularía 4 posibilidades de la primera POR 4 posibilidades en la segunda = 4 x 4 = 42 = 16.

b- No obstante, si nos fijamos en las 4 secuencias de las 16 posibilidades (las 4 subrayadas), en la otra cadena también hacen la misma secuencia de ADN (2 cadenas antiparalelas y complementarias):  AT , TA, GC y CG hacen la misma secuencia de ADN ya que ambas cadenas poseen la misma secuencia. O sea, 4 ADNs de secuencia diferente utilizando la misma secuencia en cada caso.

c- Por otro lado, observamos que entre las 12 secuencias que nos quedan y, por poner uno de los ejemplos, la secuencia AA tiene como complementaria a la secuencia TT y, ambas situadas en una o en la otra cadena formarían el mismo ADN (1); lo mismo sucedería por parejas en las restantes: AG con CT (2)/ AC con GT(3)/TG con CA (4)/ TC con GA(5) y GG con CC (6). Así que sólo caben 6 posibilidades de construir el mismo ADN de 2 unidades., que traducido en números sería 42 (por todas las posibles combinaciones), menos 41 (por las anteriores señaladas en el apartado b, que por sí solas forman la misma molécula) y el resultado dividido entre 2 por formar la misma molécula cada 2 de ellas.

d- Las posibilidades de secuencias que darían lugar al mismo ADN de 2 unidades sería por tanto: (42-4)/2(c) + 4 (b)= 12/2 +4 = 6+4= 10.

-Hasta ahora, no es posible generalizar para secuencias de “n” unidades de ADN, pero podemos intentarlo: ¿¿(4n -4n-1)/2 + 4. Ésta podría ser?; o quizás (4n-4n/2)/2+ 4n/2¿?

1.2.- Con esta interrogante inicial pasemos al caso siguiente en el que son 3 unidades. Podemos plantearlo del modo siguiente: poniendo en medio de las secuencias anteriores una nueva unidad. Por ejemplo a la secuencia AA, le ponemos una cualquiera de las letras de los nuecleótidos en medio de las 2 “aes” y, así resultarían las secuencias siguientes: AAA, ATA, AGA y ACA y lo mismo con las restantes posibles AAT, ATT, AGT, ACT;   AAG, ATG, AGG, ACG; etc……… Esto haría que las secuencias posibles de una de las cadenas sería 43.

a- Observando la configuración de 3 unidades, vemos que no hay forma de repetir en una y otra cadena la misma secuencia, como en el caso anterior. Lo impediría la unidad central que no puede ser de ningún modo idéntica a la de la otra cadena ya que estaría situada su complementaria, distinta a ella.

b- Sucedería igualmente en todas las secuencias con número Impar de unidades (3, 5, 7, 9,….), ya que nunca podría producirse una igualdad de ambas secuencias por culpa de la unidad central  y, por lo tanto, las secuencias de ADN diferentes de un nº impar de unidades vendría dado por la fórmula de 4n y punto.

c- Pero también sucedería que cualquier secuencia de 3 unidades, tendría su secuencia complementaria entre alguna de las posibles 43 unidades: por ejemplo ATG y CAT formarían el mismo ADN (y así 2 a 2). Por tanto las 43 secuencias habría que dividirlas entre 2 para conocer el nº de ADNs diferentes de 3 unidades posibles. Por tanto habría 4n/2 ADNs diferentes en secuencias de nº impar de unidades.

1.3.- Pasemos ahora al caso de 4 unidades para ver si podemos despejar la incógnita del caso de 2 unidades generalizando para las unidades pares.

a- Para construir las secuencias de una de las cadenas podemos añadir 2 unidades más en medio de las 2 del caso 1.1 .  Con las 4 subrayadas en el punto 1.1, (a) y a cada una de ellas, si les ponemos en medio las 4  mismas citadas, se convertirían en secuencias de 4 que serían iguales en ambas cadenas. Así AT (una de las 4) se convierte en 4 opciones: AATTATAT, AGCT y ACGT  ( secuencias idénticas en ambas cadenas del ADN).  Y lo mismo con las otras 3 restantes. Su cálculo sería 4 x 4 = 42 =16. Es decir,  hay 16 secuencias diferentes de 4 unidades que harían que el ADN coincidiera en ambas cadenas: ellas solas construirían los mismos ADNs.

b- Las restantes combinaciones: 44 (por todas las posibles) – 42 (por las citadas en el punto anterior), formarían ADNs idénticos pero tomándolas de de 2 en dos y el nº de ADNs diferentes sería (44 -42)/2 = 256-16/2= 240/2 = 120 ADNs con secuencia diferente.

-A las 120 anteriores habría que añadir las 16 secuencias que por sí solas forman el mismo ADN ya que su secuencia complementaria coincide en ambas.

-Por tanto 120 +16 = 136 ADNs diferentes de 4 unidades

-A estas alturas podemos ajustar un poco más del cálculo para generalizar para un ADN de “n” unidades (siempre que “n” sea par, que para “n” impar ya lo hemos generalizado en el apartado 1.2):

-la 1ª fórmula posible  prevista (4n -4n-1)/2 +4/2)  nos daría (44-43)/2 +2 = (256 -64)/2 +2 =192/2 +2 = 96+2 = 98 y, por lo tanto no nos cuadra.

-Vayamos con la segunda:

Sí parece que el primer sumando, parece ser acertado: ((4n -4n/2)/2) que daría (44 -42) /2, en este caso. Parece acertado ya que sigue el razonamiento esgrimido en el apartado anterior para el cálculo de ADNs cuyas secuencias no son coincidentes en ambas cadenas, (posibles-iguales)/2 =256-16/2 =120.

El segundo sumando (4n/2) que en este caso sería 44/2 = 42 = 16 también nos cuadra.

Apostamos, por tanto, que el nº de ADNs diferentes por su secuencia de un nº “n” de unidades (se entiende en cada cadena) y siempre que “n” sea par se puede calcular por la fórmula general siguiente: (4n– 4n/2)/2 + 4n/2   .

Como sucede en matemáticas hay que reducir la fórmula a su expresión más simple (simplificar) y así (4n – 4n/2 + 2.4n/2)/2 = (4n +4n/2)/2

1.4.-Respondiendo ahora a la cuestión planteada de inicio; ADNs diferentes de 8 unidades (nº par), aplicamos la fórmula obtenida: (48 +44)/2 = (65.536 +256)/2 = 32.896.

1.5.- Conclusiones:

                -El número de ADNs diferentes por su secuencia de “n” unidades  es 4n/2 si el nº de unidades (n) es impar,  y  (4n + 4n/2)/2 ,  si “n” es un número par.

 

1.6.- No es extraño que haya investigadores que se dediquen a desarrollar métodos computacionales basados en  secuencias de ADN, incluso ordenadores cuya “CPU” esté compuesta de moléculas de ADN. La cantidad de información que pudiera contener sería más extensa que el sistema digital y, al mismo tiempo, en muchísimo menor espacio. Un ejemplo más de la naturaleza,  que adopta la forma más eficaz y simple de almacenar la información que explica la enorme diversidad existente.

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19
enero

Secuencias de ADN: Palíndromos (3)

En algunas carreteras, cuando tomamos un desvío, circulamos por un pequeño tramo de carril único. También se produce en los tramos palíndromos cuando éstos contienen en el centro de su secuencia una pequeña secuencia no palindrómica. Formarían también una estructura cruciforme en cuyos extremos existiría un único carril circular para volver a tomar la continuidad del brazo de la estructura. A estas secuencias se les denomina palíndromos interrumpidos. Y pueden formar estructuras cruciformes en las que sus extremos forman anillos monocatenarios; es decir, de un solo carril.

palindromos4Los tramos palíndromo (continuos o interrumpidos) son relativamente frecuentes en la larguísima carretera del ADN.

Para determinar su frecuencia, tomemos como ejemplo un palíndromo continuo de 6 unidades. Las posibles disposiciones de los 6 automóviles en ambos carriles, vendría dada por la fórmula 46, ya que cada posición depende de la disposición de los 6 colores del modelo de coche en un solo carril ( a la otra no le queda más remedio que cumplir con la regla de la complementariedad y no influye como variable).

Primera posición: 4 colores posibles (4); 2ª posición. 4 colores posibles(4) independientemente del color de la 1ª posición, por tanto 4x 4 = 42 posibilidades en las 2 primeras posiciones, y así sucesivamente hasta la 6ª posición. Por tanto 46 disposiciones diferentes en un tramo de 6 automóviles seguidos. De todas ellas, habrá algunas disposiciones que formarán una secuencia palíndroma. Veamos cuántas.

Fijémonos que en una secuencia palíndromo de 6 unidades queda determinada por la disposición de los 3 primeros colores –justo hasta la mitad del palíndromo-, ya que para constituirse como secuencia palíndromo, a los 3 siguientes colores sólo les cabe una única disposición respecto a los 3 primeros. Este 2º tramo del palíndromo sólo puede tener una sola disposición de su orden de colores que dependerá de las 43 disposiciones de los 3 primeros. Por tanto habrá 43 x 1 = 43 secuencias palíndromas entre todas las posibles (46).

La probabilidad de que cualquier tramo o secuencia del ADN de 6 escogido al azar sea un palíndromo es de 43/46= 1/43 = 1/64; es decir una de cada 64 secuencias. Y como en el ADN existen multitud de tramos –tomados de 6 en 6- a lo largo de su recorrido, muy probablemente aparecerá 1 palíndomo, por termino medio cada vez que exploremos hasta 64 secuencias de 6 unidades. El ADN estará lleno de secuencias palíndromo de 6 unidades.

Conforme aumenta el número de unidades del tramo palíndromo, su frecuencia disminuye considerablemente. Con 8 sería 1/44= 1/256; para 10 sería 1/45 =1/1024,…. Para un palíndromo de 20 unidades 1/410 = 1/1048576 ; y así sucesivamente. Aún así el ADN es lo suficientemente largo para que, por simple azar –que es como realizado la base del cálculo- existan muchas secuencias de este tipo, incluso de bastantes unidades. Lógicamente las más cortas serán mucho más abundantes que las de mayor número de unidades.

Así podemos entender cómo las desviaciones, más o menos largas, su disposición y las distancias entre unas desviaciones y otras pueden servir de mapa de referencia para realizar una  localización rápida y precisa de los genes en esa larga carretera que constituye el genoma.

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18
enero

Secuencias de ADN: Palíndromos (2)

En el post anterior no hemos indicado que los automóviles que conforman esa enorme caravana (nucleótidos) sólo son de 4 clases. Mejor dicho, del mismo modelo y de 4 colores diferentes, que llamamos técnicamente A,T, G y C y que, como todo automóvil, tienen una parte delantera y otra trasera.

A la parte delantera se le denomina extremo 5´ del automóvil-nucleótido y a la parte trasera se le denomina extremo 3´.

Veamos su disposición en la caravana y en ambos carriles. El primero de los coches que se haya situado en un carril de la carretera no tendrá ningún otro automóvil delante, su parte delantera (5´) está libre. Los demás del mismo carril tendrán un coche por delante y otro por detrás: sus dos extremos están conectados, y así, hasta el último de ese carril cuya parte trasera (3´) marcará su final. Podemos decir que ése es carril de ida de Madrid a Coruña, por ejemplo: el primer coche en llegar marca el término del viaje (5´: Coruña) y el último marca el inicio (3´: Madrid).  En el otro carril sucede lo contrario: el primero de la larga fila llegó en primer lugar a Madrid (5´) y el último se encuentra en Coruña (3´). Es el carril de ida de Coruña a Madrid. Al revés que el anterior. Los carriles de la carretera, lo mismo que la disposición de nucleótidos en el ADN, es Antiparalela, porque los coches (nucleótidos) van en direcciones contrarias, cada uno en su carril.

Esto tiene su importancia en el ADN, entre otras cosas y sobre todo, porque la maquinaria celular coloca los nucleótidos marcha adelante y , salvo casos anecdóticos, no sabe hacerlo de otro modo. Se puede decir que los nucleótidos –a diferencia de los automóviles- carecen de marcha atrás. Este “inconveniente” produce que se “compliquen” procesos del ADN tales como su replicación y transcripción; aunque, por otra parte, favorecen que en el mismo tramo puedan existir 2 secuencias diferentes: 2 mensajes distintos en el mismo trayecto. Doble información en un solo espacio.

Tampoco hemos indicado que, además, los 4 coches o nucleótidos “exigen” un único modo de colocarse en ambas cadenas. Aunque el orden de los colores de automóviles que se encuentran situados en un carril cualquiera pueda ser el que “aleatoriamente” queramos; tal   secuencia determina inequívocamente el orden de automóviles de la otra; y lo mismo al revés.

La regla que determina dicha disposición es: si en un carril se encuentra un coche modelo A (azul, por ejemplo), en el otro, y a su misma altura, tiene que estar situado un coche T (rojo, por ejemplo) y lo mismo sucede con G ( verde, por ejemplo) y C (naranja, por ejemplo). Nunca deben enfrentarse de ninguna otra forma, porque no es posible químicamente. No es posible A con G ó con C; ni T con G ó con C, ni G con A ó con T; ni C con A ó con T. Siempre naranja con verde y azul con rojo. Esto se simplifica diciendo que tiene disposición complementaria. Dos carriles en la misma carretera de coches en caravana: con carriles complementarios y antiparalelos.

Así podemos entender que en un tramo determinado normalmente no coincida la disposición de la secuencia de los colores de los automóviles –si los contemplamos en el orden parte delantera(5´)-trasera(3´)- en ese mismo tramo. Lo que nos hace perentorio, como ya hemos indicado, otra de las propiedades o características del ADN: en un mismo tramo hay 2 secuencias o mensajes diferentes. (Véase por ejemplo en el tramo intermedio de la figura adjunta)

Sin embargo es posible y real el hecho de que ambas secuencias coincidan en un tramo (En la figura adjunta los 2 tramos acotados). Son las secuencias palíndomo que, como dijimos en el post anterior, son secuencias que producen desviaciones más o menos largas –en función del tramo palindrómico- que hace que estas secuencias sirvan de “mapa” de esa larga carretera en la que situar –de forma precisa y rápida- aquellos tramos en la que maquinaria celular quiera “fijarse” y actuar sobre ella.

palindromos3Por poner un ejemplo: la secuencia 5´… G A T A T C  …3´ en una de los carriles coincide con la misma secuencia dentro del mismo tramo en el otro carril, también de 5´a 3´. Sus coches pueden perfectamente provocar un desvío de la dirección principal de la carretera para hacerlo sin contradecir las características (antiparalelismo y complementariedad) de los 2 carriles del ADN, y así, formar un doble desvío igual en ambos carriles de la carretera principal, que en el ADN se denomina estructura cruciforme.

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17
enero

Secuencias del ADN: Palíndromos (1)

Imagínese usted una carretera con carril de ida y de vuelta. Imagínesela absolutamente llena de coches en caravana, tanto en un carril como en el otro, de modo que ninguno de ellos puede avanzar.

Imaginen ahora que el trayecto ocupado por esa inmensa caravana es la distancia de Coruña a  Cádiz (1.200 Km. aproximadamente). Si cada automóvil ocupa una longitud de carretera de 5 metros, el número de coches en cada dirección sería: 1.200.000m/5m = 240.000 coches. Se necesitarían 480.000 automóviles para cubrir ambos carriles.

Supongan ahora que vd. se encuentra situado en helicóptero sobre un tramo concreto de esa carretera y le piden que “identifique” de qué tramo se trata. Muy probablemente diría que imposible; o todo lo más, buscaría referencias o bien de los automóviles, de la propia carretera, sus posibles cruces, de la posición solar, de los posibles accidentes topográficos, de los núcleos de población que la rodean, etc., para ver si todo lo observado pudiera encajar con una posible respuesta. Imaginen ahora la misma situación anterior pero observando únicamente la carretera, con sus coches y nada más. Ahora se rendiría absolutamente, salvo que coches, señales y paneles de la propia carretera pudiera insinuarle pistas para poder hacerlo.

El ADN humano –y de cualquier ser vivo- es como esa carretera, cuyos nucleótidos se asemejan a los coches situados en ambas direcciones, pero muchísimo más larga aún; nada menos que 3.200.000.000 coches en cada dirección. Nada más y nada menos que 16 millones de Km de caravana. Suficiente para alcanzar nuestro sol , o mejor, todas las carreteras de Europa –quizás del mundo entero- rellenas de automóviles parados en caravana. ¿Cómo identificar el tramo que estamos contemplando desde nuestro helicóptero? ¿Cómo haríamos para localizar  un tramo determinado?. Éste es un problema que la maquinaria de la célula debe resolver ya que determinados tramos –que podemos asemejarlos a los genes del ADN- tienen que actuar; cada uno en su momento y circunstancia en función del tipo de célula en el que se encuentra y también en función del ambiente celular (interno y externo). palindromo 1

 Existen muchos tramos –en función de las circunstancias celulares citadas- de esa enorme carretera a los que ya está impedido su acceso: no son identificables. Vendrían a ser , siguiendo nuestro simil, tramos de carretera que pasan por túneles, zonas boscosas, etc., en que no es posible su observación  desde el helicóptero. Pertenecen a la heterocromatina nuclear que está pero que no actúa. Otros se encuentran en obras, están cortados por otras circunstancias: derrumbes, inundaciones, nieve, etc. que temporal o definitivamente están inaccesibles. Son tramos marcados epigenéticamente (nucleosomas apelotonados, histonas del nucleosoma no acetiladas, metilaciones en los nucleótidos, etc.). Aunque  relativamente accesibles, tampoco son funcionales. Y nos queda el resto de los tramos que todavía son muy numerosos. Como diferenciar los tramos “concretos” para situar nuestro helicóptero en posición?

Una de las formas es hacerlo mediante el propio trazado de que la carretera que consiste en realizar “desviaciones” para “marcar” esos tramos. En determinados puntos, los carriles se desvían uno del otro hacia ambos lados igualmente y vuelven de nuevo a retornar al punto de desviación, adoptando una configuración cruciforme.

 palindromos2La magnitud de la desviación –longitud de los brazos de la estructura cruciforme- es variable: unas decenas de metros, centenares de metros o kilómetros. Existen muchísimos de estos puntos de referencia a lo largo de la carretera de forma que podemos situarnos en un tramo si tenemos en cuenta que éste se encuentra, por ejemplo, después de 2 desviaciones de  187 y 278 metros,  y de otras 2, la primera de 27 metros y la segunda de 2,45 Km. Tomando como referencia las desviaciones , sus magnitudes o incluso los tipos de automóviles que se encuentran en ellas, nos indican el tramo concreto en que queremos fijarnos. Lo mismo sucede en el ADN celular. Estos tramos que provocan desviaciones, en el ADN se denominan palíndromos, y vienen determinados por el orden en la disposición de los automóviles (nucleótidos) en la caravana. De este modo, la configuración de la propia carretera conforma señales propias para la localización de tramos concretos. Así, los genes del ADN son relativamente fáciles de localizar para que la maquinaria que los pone en funcionamiento sea rápida y eficaz. Fácil e ingenioso.

No es la única y exclusiva forma que tiene el ADN de fijar la localización de sus genes. Los tramos palindromo también son utilizados para otras funciones, siendo reconocidos por su propia configuración: tramos por donde el ADN puede “cortarse” por enzimas de restricción, tramos reguladores de la actividad génica; tramos que se transcriben a ARNm o ARNr,… En el siguiente post trataremos  de explicar con más detalle la naturaleza de las secuencias palíndromo.

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