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13
octubre

Matemáticas y ADN (4)

 

Palíndromos y Re-palíndromos (4)

En el artículo anterior relacionamos las posibles secuencias de una de las hebras del ADN o del ARN (En este caso la complementariedad es A-U y G-C) con las posibles secuencias palíndromo (continuos o interrumpidos) que se podían presentar en ellas.

También podemos buscar las razones matemáticas para relacionar los palíndromos con los diferentes ADNs. Para ello tendremos que tener en cuenta que sólo los palíndromos continuos forman la misma molécula de ADN, mientras que los discontinuos no; ya que tienen parte NP y, por definición, no pueden ser idénticas en esa zona en ambas cadenas.

Conclusión :

La relación entre secuencias palíndromo (de cualquier tipo) y el nº de ADNs diferentes de ese mismo nº de unidades es de 1/2 en ADNs de nº impar y un poco menor en ADNs de nº par de unidades, aunque muy próximo a esa misma cantidad (1/2) .  Esto significa que si escribimos la secuencia de un ADN al azar, existe  1/2 de probabilidad de que contenga algún tipo de palíndromo.

Las secuencias palíndromo desempeñan diferentes funciones biológicas.

Muchas de ellas sirven de señalización (identifican puntos de interés en el ADN para, por ejemplo, localizar secuencias,  determinar lugares del ADN donde se unen determinados factores de transcripción o también en determinadas secuencias promotoras y terminadoras del mismo proceso,  lugares para escindir el ADN por enzimas de restricción o endonucleasas (tipo II) o también lugares  donde el ADN se “metila” para desactivar genes) o también como regiones transcribibles para que el ARN resultante pueda formar horquillas de apareamiento como en el caso de los ARN ribosómicos y transferente y los ARNmic transcritos primarios que originan los ARN-i (ARN de interferencia) . Las secuencias palíndromo también se encuentran presentes en los sistemas genómicos bacterianos CRISPR: CRI-SPR; las iniciales SPR (Short Palindromic Repeats = repeticiones palindrómicas cortas) que actúan de encaje a las secuencias espaciadoras, responsables directas de la inmunidad adquirida bacteriana, y  que es utilizado en la actualidad para la edición génica con múltiples aplicaciones.

 Los palíndromos en el ARN : RE-PALÍNDROMOS

Es frecuente observar que algunos tipos de moléculas de ARN (ejemplo: ARNt y ARNr) no tienen una estructura lineal, sino que en diferentes lugares presentan estructura doble (partes diferentes  de la cadena se han hibridado) presentando una estructura compleja tridimensional variada en su forma, incluso ARNs de estructura circular. Esto es debido a que las secuencias que hibridan son palíndromicas (por complementarias) y a su vez, en el intermedio de las mismas puede haber otras secuencias también palindrómicas produciéndose una primera y una segunda,.. hibridación en ellas. Casos que podríamos denominar re-palíndromos. En la imágenes  inferiores puede observarse la estructura lineal (rodeado de elipses en rojo las regiones palíndromas) de uno de los ARNt  y debajo su estructura tridimensional.

Su secuencia Re-palindrómica: 5´-P1-NP1-P2-NP2 (bucle izqdo.)-P´2-NP-P3-NP3( bucle anticodon)-P´3-NP4 (semibucle derecho)-P4-NP5 (bucle derecho)-P´4P´1-NP7-3´.

LOS PALINDOMOS EN EL ADN- Ver artículos Blog DNA didactic : Palindromos de ADN 1, 2 y 3 (http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-del-adn-palindromos-1/  http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-de-adn-palindromos-2-2/  http://www.dnadidactic.com/blog/secuencias-de-adn-palindromos-3/ )

 

 

 

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10
octubre

Matemáticas y ADN (3)

 

También hay secuencias que forman los palindromos interrumpidos(3)

Las secuencias palindrómicas de los artículos anteriores son palíndromos continuos (o también llamados ininterrumpidos), pero también existen otras secuencias similares denominadas palíndromos interrumpidos. Son secuencias palíndromo que justo en medio se ha introducido 1, 2, 3, 4,….unidades que no son palindrómicas. (En lo sucesivo, mientras no indiquemos lo  contrario, hablaremos de secuencias y no haremos referencia a ADNs diferentes).

Ejemplo: ATCGT GGT ACGAT . Las unidades subrayadas forman un palíndromo,  interrumpido por una secuencia –en este caso de 3 unidades-que no igualaría la secuencia de la otra hebra en ese tramo, mientras que las adyacentes subrayadas sí.

Estas secuencias hacen que tanto los tramos de unidades pares como las impares puedan formar palíndromos interrumpidos.

Podemos igualmente aproximarnos a calcular su número, en función del número total de unidades de la secuencia.

En general podemos denominar a estos palíndromos interrumpidos del siguiente modo: P(n)-NP(m)-P´(n); siendo P(n) y P´(n) los tramos palíndomo de “n” (nº de unidades) y NP(m) el tramo no palíndromo de “m” (nº de unidades de ese tramo).

¿Podemos calcular el nº de secuencias posibles por ejemplo del  P(6)- NP (5)-P´(6); o sea un tramo de 17(6+5+6) unidades?. Pongámonos a ello partiendo de casos sencillos y busquemos, como en artículos  anteriores, una fórmula general que nos lo indique.

 

1.-Palíndromo interrumpido de 3 unidades

En este caso no pueden existir secuencias palíndromo continuos ya que un nº impar de unidades lo impide y sólo cabe el caso indicado a continuación.

1.a.- (P (1) – NP (1) – P´(1))

P: secuencia que forma el palíndromo/ NP: secuencia que no lo forma

P: puede tener 41 combinaciones posibles  que lo harían palíndromo en posiciones P y P´; respectivamente(A y T; T y A; Gy C y Cy G), cada una de ellas junto con las 4 posibles de NP (A,T,G,C), lo que haría un total de 41 x 41 = 42

 

 2.- Palíndromos de 4 unidades

2 casos posibles de palíndromo.

2.a.-Caso 1 (P (2)- NP (0)- P´(2)- Palíndromo continuo

En el continuo, los 2 primeros nucleótidos determinan los 2 siguientes para que se cumpliera la condición de palíndromo. Por tanto 42 combinaciones posible x 1 sola posibilidad en la 2ª parte del palíndromo = 42 x 1 = 42

2.b.- Caso 2 ( P (1)- NP(2) –P´(1))

Para el palíndromo interrumpido de 4 bases sólo cabe la posibilidad dibujada abajo. Su cálculo sería: 41 para constituir palíndromo (P y P´), multiplicado por aquellas secuencias posibles NP de 2 bases; éstas últimas serían 42 posibles de 2 unidadades  – 41 que las harían palíndromo continuo al añadir una unidad más al palíndromo (y estamos contemplando el caso  que no constituyan palíndromo). Por tanto, en total:  41 (42 – 41 ) = 43 – 42

2.c.-

La Suma total de secuencias de 4 bases que formarían un palíndromo (continuo o interrumpido) = 42 + (43 – 42) = 42 + 43 – 42 = 43

 

3.- Palíndromos interrumpidos de 5 unidades

2 casos posibles de palíndromo (ambos interrumpidos). No existe, en este caso la posibilidad de palíndromos continuos,  al ser una secuencia Impar.

3.a.- Caso 1:  (P (2)- NP(1)- P´(2))

En este primer caso se calcularía 42 (nº de P ) x 41 (posibilidades de NP: los 4 nucleótidos) = 43 posibilidades de secuencias diferentes

3.b.- Caso 2; (P (1)- NP(3)-P´(1))

En esta segunda posibilidad: 41 secuencia P x aquellas secuencias NP de 3 unidades que se calcularía 43 secuencias posibles, menos aquellas que las convirtiesen en palíndromo (que serían las indicadas para en apartado 1, o sea 42); por tanto, 41 ( 43 – 42) = 44 -43

3.c.- Si sumamos ambos casos 43 + (44 – 43) = 44 posibilidades de secuencias palíndromo diferentes

4.- Palíndromos de 6 unidades

Casos posibles:

4.a.- Caso 1:  (P(3)- NP(0)- P´(3)) – Palíndromo continuo

Palíndromo continuo donde los 3 primeros nucleótidos (43 combinaciones posibles) determinan una  y sólo una posibilidad en los 3 últimos: 43 X 1 = 43

4.b.- Caso 2:  (P(1)-NP(4)-P´(1))

Palíndromo interrumpido de 1 base en cada extremo

si le añaden una : 41 ( P y P´) x aquellas de 4 nucleótidos no palíndromos (44 – 43: las combinaciones posibles (44) menos las calculadas en el apartado 2c, que sería el nº de secuencias palíndromo posibles de 4 nucleótidos o pares de nucleótidos ): 41 (44 – 43) = 45 – 44

4.c.- Caso 3:  (P(2)-NP(2)-P´(2))

Palíndromo interrumpido de 2 bases en cada extremo:

Secuencias P= 42 multiplicado por aquellas combinaciones de 2 NP: (42 – 41: las posibles menos las indicadas en el razonamiento del  apartado 2b). Por tanto 42(42 – 41)= 44 – 43

4.d.-

La suma de todas las combinaciones palíndrómicas posibles sería: 43 (continuo) + (45– 44) añade 1, + (44 – 43) añade 2 = 43 + 45 – 44 + 44– 43= 45 secuencias palíndromos posibles

 

5.- Palíndromos interrumpidos  de 7 unidades

5.a.-Caso 1:  (P(1)-NP(5)-P´(1))

palíndromo interrumpido de 2 bases (uno en cada extremo) y 5 NP. Multiplicar el nº de unas por el nº de las otras

-Secuencias que forman el palíndromo: 41

-Secuencias NP (de 5 bases): 45 posibles menos aquellas que hicieran de esas 5 bases algún palíndromo; que como hemos calculado en el apartado (3) son 44.

Por tanto= 45– 44

-Total: 41 (45 – 44) = 46 – 45

5.b.-Caso 2:  (P(2)-NP(3)-P´(2))

palíndromo interrumpido que añade 4 bases (2 en cada extremo) y 3NP. Multiplicar el nº de unas por el nº de las otras.

-Secuencias posibles palíndromos: 42

-Secuencias NP( de 3 bases): las posibles 43 – aquellas que la convertirían a la secuencia NP en palíndromo, que como hemos calculado en el apartado (1) son 42. En total 43 – 42

-Total secuencias: 42 (43 – 42)= 45 – 44

5.c.- Caso 3:  (P(3)-NP(1)-P´(3))

Palíndromo interrumpido que añade 6 bases (3 en cada extremo) y 1 NP

Secuencias posibles que formarían el palíndromo;  43, multiplicadas por los posibles NP (los 4 nucleótidos) que en este caso es 41

Por tanto 43x 41 = 44 posibilidades de secuencias

5.d.-

Si sumamos los 3 casos: 46 – 45 + 45 – 44 + 44 = 46

 

6.- Palíndromos de 10 unidades

Pasamos ahora al caso en que la secuencia tenga 10 Pares de bases ( o nucleótidos)

6.a.-Caso 1:  (P(5)-NP(0)- P´(5))- Palíndromo continuo

Palíndromo continuo (5 y 5). Los 5 primeros nucleótidos (45) determinan una y sólo una combinación en los 5 restantes: 45 x 1 =45

6b.- Caso 2:  (P(1)- NP(8)-P´(1)

Palíndromo interrumpido de 1 base en cada extremo y 8 NP: Siguiendo los razonamientos anteriores: 41 x (48– 47)= 49 – 48

6.c.- Caso 3:  (P(2)-NP(6)-P´(2))

Palindromo interrumpido de 2 en cada extremo y 6 NP: 42 (46– 45)= 47– 46

6.d.- Caso 4:  (P(3)-NP(4)-P´(3))

Palíndromo interrumpido de 3 en cada extremo y 4 NP en medio: 43 (44– 43) = 47 – 46

6e.- Caso 5:  (P(4)-NP(2)-P´(4))

Palíndromos interrumpidos de 4 en cada extremo y 2 NP en medio: 44 (42– 41)=46 – 45

6.f.-La suma total de posibles secuencias palíndromo de 10:  45 +49-47 + 47-46 + 46-45 = 49

7.- Respuesta a la pregunta inicial

Podemos ahora responder a la pregunta con la que iniciábamos los cálculos de este apartado. El nº de secuencias posibles de un palíndromo (P6-NP(5)-P´(6))  es igual a  46 (45 -44) = 411 -410 = 410( 4 -1) = 3 x 410 = 3.145.728 ( Ver punto 5 de las conclusiones más abajo y todos los casos contemplados de palíndromos interrumpidos en los apartados anteriores 1a, 2b, 3a, 3b, 4b, 4c, 5a, 5b, 5c, 6b, 6c, 6d, 6e))

Tabla resumen de los cálculos realizados anteriormente

CONCLUSIONES

1.- En una secuencia de “n” nucleótidos o pares de nucleótidos, el nº de secuencias posibles es 4n y 4n-1 de ellas serán secuencias palíndromo (continuos e interrumpidos)

2.- La relación entre secuencias palíndromo y secuencias no palindrómicas de cualquier tamaño (n nucleótidos o pares de nucleótidos) viene dado por la fracción 4n-1/4n = 1/4. Una de cada cuatro secuencias al azar constituirán un palíndromo continuo o interrumpido.

3.- En las secuencias de nº par (n= nº par), el nº de secuencias palíndromos continuos será 4 n/2,  y el nº de secuencias palíndromo interrumpido será 4n-1 – 4n/2. (Véase en la tabla casos 2, 4 y 6 el cálculo del nº de palíndromos interrumpidos).

4.- En las secuencias de nº impar(n= nº impar), no es posible la existencia de palíndromos continuos y el nº de secuencias de palíndromos interrumpidos será 4n-1.

5.- En cualquier secuencia que constituya un palíndromo interrumpido de estructura general: P(n)- NP (m) –P´(n) el nº de secuencias posibles diferentes será el que viene dado por la fórmula: 4n (4m -4m-1) ; 4n para el palíndromo que forman P y P´; que habrá que multiplicar por las secuencias de “m” posibles que NO puedan formar palíndromos que serán todas las posibles (4m) menos aquellas que sí lo forman (4m-1), tal y como hemos visto en los cálculos realizados. Si queremos simplificar más esta fórmula, 4n (4m -4m-1)  = 4(n+m) – 4(n+m-1) = 4 (n+m-1) (4 -1) = 3 . 4 (n+m-1)  

6.- Estas conclusiones se pueden aplicar a cualquier tipo de secuencias simples, tanto ADN como ARN .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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5
octubre

Matemáticas y ADN (1)

ADNs diferentes (1)

La genética y su ADN se prestan para realizar actividades de tipo matemático en diferentes  aspectos. Todo es cuestión de ponerse a ello.

1.-  Empecemos por calcular el nº de  ADNs diferentes por sus secuencias
Por ejemplo: Calcula el nº de ADNs diferentes por su secuencia de 8 pares de bases (8 unidades en cada cadena)

Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que el ADN tiene 2 cadenas complementarias y antiparalelas que forman su secuencia con 4 tipos de unidades (nucleótidos: A, T, G y C) que se siguen unas a otras de todas las formas posibles, admitiendo la repetición de cualquiera de ellas.

Complementarias significa que si en una de las cadenas hay una A, en la otra debe haber una T (y lo mismo al revés) y si en una de ellas hay una G, en la otra tiene que haber una C enfrentada a ellas.

Antiparalelas quiere decir que frente a la A, en la otras cadena hay T pero como si estuviese al revés (con el palo transversal de la T boca abajo) igualmente con T y A (vértice hacia abajo) y con G y C. De tal forma que en una de las cadenas “leemos” su secuencia de izquierda a dcha. y la otra de  dcha. a izquierda.

Aclarado a lo que nos enfrentamos, iniciamos la resolución.

1.1.- Vamos allá con la cuenta de la vieja: Imaginamos una secuencia de 2 pares de bases

-Veamos las secuencias posibles en UNA de sus cadenas.

a- La primera unidad de las 2 puede ser A ó T ó  G ó C (4 posibles) y la segunda unidad puede tener las mismas 4 posibilidades( A,T,G ó C):  AA, AT, AG, AC, TA, TT, TG, TC, GA, GT, GG, GC, CA, CT, CG y CC , constituyen las 16 posibles secuencias en una de sus cadenas que se calcularía 4 posibilidades de la primera POR 4 posibilidades en la segunda = 4 x 4 = 42 = 16.

b- No obstante, si nos fijamos en las 4 secuencias de las 16 posibilidades (las 4 subrayadas), en la otra cadena también hacen la misma secuencia de ADN (2 cadenas antiparalelas y complementarias):  AT , TA, GC y CG hacen la misma secuencia de ADN ya que ambas cadenas poseen la misma secuencia. O sea, 4 ADNs de secuencia diferente utilizando la misma secuencia en cada caso.

c- Por otro lado, observamos que entre las 12 secuencias que nos quedan y, por poner uno de los ejemplos, la secuencia AA tiene como complementaria a la secuencia TT y, ambas situadas en una o en la otra cadena formarían el mismo ADN (1); lo mismo sucedería por parejas en las restantes: AG con CT (2)/ AC con GT(3)/TG con CA (4)/ TC con GA(5) y GG con CC (6). Así que sólo caben 6 posibilidades de construir el mismo ADN de 2 unidades., que traducido en números sería 42 (por todas las posibles combinaciones), menos 41 (por las anteriores señaladas en el apartado b, que por sí solas forman la misma molécula) y el resultado dividido entre 2 por formar la misma molécula cada 2 de ellas.

d- Las posibilidades de secuencias que darían lugar al mismo ADN de 2 unidades sería por tanto: (42-4)/2(c) + 4 (b)= 12/2 +4 = 6+4= 10.

-Hasta ahora, no es posible generalizar para secuencias de “n” unidades de ADN, pero podemos intentarlo: ¿¿(4n -4n-1)/2 + 4. Ésta podría ser?; o quizás (4n-4n/2)/2+ 4n/2¿?

1.2.- Con esta interrogante inicial pasemos al caso siguiente en el que son 3 unidades. Podemos plantearlo del modo siguiente: poniendo en medio de las secuencias anteriores una nueva unidad. Por ejemplo a la secuencia AA, le ponemos una cualquiera de las letras de los nuecleótidos en medio de las 2 “aes” y, así resultarían las secuencias siguientes: AAA, ATA, AGA y ACA y lo mismo con las restantes posibles AAT, ATT, AGT, ACT;   AAG, ATG, AGG, ACG; etc……… Esto haría que las secuencias posibles de una de las cadenas sería 43.

a- Observando la configuración de 3 unidades, vemos que no hay forma de repetir en una y otra cadena la misma secuencia, como en el caso anterior. Lo impediría la unidad central que no puede ser de ningún modo idéntica a la de la otra cadena ya que estaría situada su complementaria, distinta a ella.

b- Sucedería igualmente en todas las secuencias con número Impar de unidades (3, 5, 7, 9,….), ya que nunca podría producirse una igualdad de ambas secuencias por culpa de la unidad central  y, por lo tanto, las secuencias de ADN diferentes de un nº impar de unidades vendría dado por la fórmula de 4n y punto.

c- Pero también sucedería que cualquier secuencia de 3 unidades, tendría su secuencia complementaria entre alguna de las posibles 43 unidades: por ejemplo ATG y CAT formarían el mismo ADN (y así 2 a 2). Por tanto las 43 secuencias habría que dividirlas entre 2 para conocer el nº de ADNs diferentes de 3 unidades posibles. Por tanto habría 4n/2 ADNs diferentes en secuencias de nº impar de unidades.

1.3.- Pasemos ahora al caso de 4 unidades para ver si podemos despejar la incógnita del caso de 2 unidades generalizando para las unidades pares.

a- Para construir las secuencias de una de las cadenas podemos añadir 2 unidades más en medio de las 2 del caso 1.1 .  Con las 4 subrayadas en el punto 1.1, (a) y a cada una de ellas, si les ponemos en medio las 4  mismas citadas, se convertirían en secuencias de 4 que serían iguales en ambas cadenas. Así AT (una de las 4) se convierte en 4 opciones: AATTATAT, AGCT y ACGT  ( secuencias idénticas en ambas cadenas del ADN).  Y lo mismo con las otras 3 restantes. Su cálculo sería 4 x 4 = 42 =16. Es decir,  hay 16 secuencias diferentes de 4 unidades que harían que el ADN coincidiera en ambas cadenas: ellas solas construirían los mismos ADNs.

b- Las restantes combinaciones: 44 (por todas las posibles) – 42 (por las citadas en el punto anterior), formarían ADNs idénticos pero tomándolas de de 2 en dos y el nº de ADNs diferentes sería (44 -42)/2 = 256-16/2= 240/2 = 120 ADNs con secuencia diferente.

-A las 120 anteriores habría que añadir las 16 secuencias que por sí solas forman el mismo ADN ya que su secuencia complementaria coincide en ambas.

-Por tanto 120 +16 = 136 ADNs diferentes de 4 unidades

-A estas alturas podemos ajustar un poco más del cálculo para generalizar para un ADN de “n” unidades (siempre que “n” sea par, que para “n” impar ya lo hemos generalizado en el apartado 1.2):

-la 1ª fórmula posible  prevista (4n -4n-1)/2 +4/2)  nos daría (44-43)/2 +2 = (256 -64)/2 +2 =192/2 +2 = 96+2 = 98 y, por lo tanto no nos cuadra.

-Vayamos con la segunda:

Sí parece que el primer sumando, parece ser acertado: ((4n -4n/2)/2) que daría (44 -42) /2, en este caso. Parece acertado ya que sigue el razonamiento esgrimido en el apartado anterior para el cálculo de ADNs cuyas secuencias no son coincidentes en ambas cadenas, (posibles-iguales)/2 =256-16/2 =120.

El segundo sumando (4n/2) que en este caso sería 44/2 = 42 = 16 también nos cuadra.

Apostamos, por tanto, que el nº de ADNs diferentes por su secuencia de un nº “n” de unidades (se entiende en cada cadena) y siempre que “n” sea par se puede calcular por la fórmula general siguiente: (4n– 4n/2)/2 + 4n/2   .

Como sucede en matemáticas hay que reducir la fórmula a su expresión más simple (simplificar) y así (4n – 4n/2 + 2.4n/2)/2 = (4n +4n/2)/2

1.4.-Respondiendo ahora a la cuestión planteada de inicio; ADNs diferentes de 8 unidades (nº par), aplicamos la fórmula obtenida: (48 +44)/2 = (65.536 +256)/2 = 32.896.

1.5.- Conclusiones:

                -El número de ADNs diferentes por su secuencia de “n” unidades  es 4n/2 si el nº de unidades (n) es impar,  y  (4n + 4n/2)/2 ,  si “n” es un número par.

 

1.6.- No es extraño que haya investigadores que se dediquen a desarrollar métodos computacionales basados en  secuencias de ADN, incluso ordenadores cuya “CPU” esté compuesta de moléculas de ADN. La cantidad de información que pudiera contener sería más extensa que el sistema digital y, al mismo tiempo, en muchísimo menor espacio. Un ejemplo más de la naturaleza,  que adopta la forma más eficaz y simple de almacenar la información que explica la enorme diversidad existente.

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5
octubre

Matemáticas y ADN (0)

Jugando con las matemáticas del  ADN (0)

Lo nuestro es el ADN y la genética, y por ello vamos a realizar una serie de artículos en nuestro blog relacionando diferentes aspectos del ADN y de genética con las matemáticas. Pretendemos hacerlo desde postulados simples e ir, poco a poco, deduciendo fórmulas o generalizaciones que nos permitan resolver casos más complejos. Es decir, por el método denominado “la cuenta de la vieja”.

 

Lo hacemos de este modo porque estos artículos van dirigidos, sobre todo al alumnado de enseñanzas medias (ESO y Bachillerato), y también para sus profesores, con la finalidad de que éstos se sirvan de ellos para su  labor didáctica, tanto para aspectos matemáticos como para aspectos biológicos.

Esperemos que estos artículos puedan ser de utilidad.

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