Tag Archives: Ley de Hardy-Weinberg

5
diciembre

Matemáticas y ADN (7b)

Genética de Poblaciones (2)

Continuamos con el post anterior para ver si también se cumplen sus conclusiones cuando se trata de genes con más de 2 alelos.

Si hubiera más de 2 alelos para un gen : Por ejemplo 3:  A1, A2, A3

Supongamos que  el cruzamiento inicial es A1 A2 x A2 A3

-Frecuencias génicas iniciales: A1 =1/4 =0,25; A2=2/4=0,5;A3=1/4= 0,25

-La primera generación dará:  1 A1 A2/ 1 A1 A3/ 1 A2 A2 / 1 A2 A3

-Las frecuencias génicas en esta primera generación son :A1 = 2/8 = 1/4 = 0,25; A2= 4/8= 1/2=0,5 y A3 = 2/8 = 1/4=0,25. Es decir que las frecuencias génicas son las mismas que la iniciales.

-Las frecuencias genotípicas son: A1 A2 =  1/4 = 0,25; A1 A3 = 1/4= 0,25; A2 A2 = 1/4=0,25 y A2 A3 = 1/4 = 0,25.

Pasemos a la 2ª generación :

Hagamos todos los cruzamientos posibles:

-La frecuencia de los genes: A1 = 12 +12+ 4 + 4= 32/ A2= 16+ 8 + 24+16 =64/ A3 = 4 +12 +4 +12 =32. Total genes (A1+A2+A3)= 128

Por tanto  la frecuencia de A1 = 32/128 = 0,25; la frecuencia decimal de A2 = 64/128= 0,5 y la de A3 = 32/128 = 0,25. Vemos que las frecuencias de los genes se mantiene.

Vayamos ahora a las frecuencias de los genotipos obtenidos

La suma total de los genotipos obtenidos= 4+16+8+16+116+4= 64

-Frecuencia Genotipo A1 A1= 4/64= 0,0625

-Frecuencia del Genotipo A1 A2 (=A2 A1) = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A1 A3 (A3 A1) = 8/64 = 0,125

-Frecuencia del Genotipo A2 A2 = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A2 A3 (=A3 A2) = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A3 A3 = 4/64 = 0,0625

Si llamamos a la frecuencia génica de A1=a (0,25); de A2=b(0,5) y de A3=c(0,25)

a+b+c= 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1

(a +b +c)2 = a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0,252 + 0,52 + 0,252 + 2.0,25.0,5 +2.0,25.0,25 + 2. 0,5.0,25 = 0,0625 + 0,25 + 0,0625 +0,25+0,125 + 0,25 = 1

Vemos que también se cumple para 3 genes:

-Frecuencia del genotipo A1 A1 = a2 = 0,0625

-Frecuencia del genotipo A2 A2 = b2 = 0,25

-Frecuencia del genotipo A3A3 = c2 = 0,0625

-Frecuencia del genotipo A1 A2 (= A2 A1)=  2.a.b = 0,25

-Frecuencia del genotipo A1 A3 (=A3 A1) = 2.a.c =  0,125

-Frecuencia del genotipo A2 A3 (A3 A2) = 2.b.c = 0,25

Por tanto, si generalizamos, cuando los cruzamientos en una población se realizan al azar, la frecuencia de los diferentes genotipos en la misma se obtiene a partir de la fórmula polinómica de la suma de las frecuencias génicas de sus diferentes alelos, elevando ésta al cuadrado.

Los sumandos de las frecuencias génicas al cuadrado corresponden a los genotipos homozigóticos y los sumandos restantes a los heterozigóticos.

Por ejemplo: gen con 4 alelos:

(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2+ d2 + 2ab+ 2ac+ 2ad + 2bc+ 2bd + 2cd

a2 = frecuencia genotipo A1A1

b2= Frecuencia genotipo A2 A2

c2= frecuencia genotipo A3 A3

d2 = frecuencia  genotipo A4 A4

2ab= frecuencia genotipo A1 A2 (=A2A1)

2ac = frecuencia genotipo A1 A3 (=A3 A1)

2ad= frecuencia genotipo A1 A4 (= A4 A1)

2bc = frecuencia genotipo A2 A3 (=A3 A2)

2bd = frecuencia genotipo A2 A4 (=A4 A2)

2cd = frecuencia genotipo A3 A4 (= A4 A3)

Conclusión:

-Las frecuencias génicas y  genotípicas también permanecen constantes en las sucesivas generaciones de las poblaciones en el caso de genes con alelomorfismo múltiple (siempre y cuando los cruzamientos se realicen al azar y no haya variaciones de sus frecuencias génicas tal y como lo  expresamos en nuestro post anterior).

-Se perderá ese equilibrio en caso de variación de sus frecuencias génicas (mutaciones en alelos, emigración de individuos (más de un genotipo que de otros) de la población, inmigración de individuos (idem que en caso anterior) de otras poblaciones, selección de genotipos en la reproducción,…. y, en general cualquier causa que modifique las frecuencias génicas de partida). No obstante, transcurrido este evento, la población volverá a un nuevo equilibrio en sólo una generación posterior si las condiciones vuelven a ser las iniciales.

 

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2
diciembre

Matemáticas y ADN (7a)

Genética de Poblaciones (1)

Vamos ahora a intentar calcular cómo es la distribución de genes y genotipos a través de sucesivas generaciones. Para ello vamos a empezar -como lo realizamos siempre- con diferentes casos sencillos y seguir su rastro.

A.- Empecemos por la pareja que origina una población y supongamos que ambos son homozigóticos para los 2 alelos de un gen: A1 A1 y A2 A2. Y además van a tener una numerosa descendencia. En esta población inicial la frecuencia de los genes A1 y A2 son iguales = 50%; en frecuencia decimal= 0,5

-Al cruzarse producen para la siguiente generación individuos homogéneos: Todos A1A2 al recibir uno de los alelos de sus progenitores. El total de genes A1 = total de genes A2 en la población en la población de hijos. En frecuencias génicas: A1= 50% y A2 = 50% y en frecuencias decimales,  A1=0,5 y A2 = 0,5. Sus genotipos son 100% A1 A2

-Supongamos que los miembros de esta 1ª generación se crucen entre sí (realizando un cuadro De Punnet): producirán todos lo siguiente: 1/4 A1A1/ 1/4 A1A2/ 1/4 A2 A1 /1/4 A2 A2. Nota:  (A1A2 =A2 A1 a efectos genotípicos pero no así para su conteo). Total de genes A1=4 y de genes A2 =4. Las frecuencias génicas en esta 2ª generación: A1 = 50% y A2 =50%. Frecuencias decimales 0,5 y 0,5

El resultado de esta 2ª generación: En cuanto a los genotipos 1: 2: 1 (1 homogótico A1 A1; 2 heterozigóticos A1 A2 y 1 homozigótico A2 A2). Si los ponemos por sus frecuencias: 25%; 50% y 25% y si los ponemos por frecuencias decimales: 0,25/0,50/ 0,25

Pasemos a la siguiente generación (3ª generación) y, como en los casos  anteriores, consideraremos que cualquiera de los genotipos resultantes puede cruzarse con cualquiera de los genotipos (incluídos  aquellos que posean su mismo genotipo)

Nota: realizamos los cruzamientos según los Cuadros De Punnet para contemplar cuantitativamente todas las opciones posibles.

Sumando las frecuencias de  todos los genes A1 obtenidos en esta 3ª generación= 24+16+16+8 = 64

Sumando las frecuencias de  todos los gens A2 obtenidos en esta 3ª generación  = 8+16+16+24 = 64

Es decir que sigue existiendo igualdad de genes de A1 y de genes A2. Si lo ponemos en frecuencias: 50% y 50% y en frecuencias decimales, A1=  0,5 y A2 = 0,5.

Ahora contemos la frecuencia del el nº de genotipos obtenidos en esta 3ª generación:   (A1 A1// A1 A2 = A2A1// A2A2)

Veamos las frecuencias genotípicas: de un total de 16+32+16 =64; es decir 1:2:1

-16 son A1A1 = 16/64 x100=25%, y en frecuencia decimal 0,25

-32 son A1A2 (=A2A1) = 32/64 x 100 = 50%, y en frecuencia decimal 0,50

-16 son A2 A2 = 16/64 x100 = 25%, y en frecuencia decimal 0,25

Vemos que a partir de la segunda generación se mantienen las frecuencias de los genes presentes y también las frecuencias de los genotipos y la misma relación entre ellos.

¿Podemos buscar una relación entre las frecuencias de los genes y las de los genotipos?

¿Existe alguna relación matemática entre los números 0,5 y 0,5 (frecuencias génicas) con 0,25, 0,5 y 0,25 (frecuencias genotípicas)? . Nosotros hemos encontrado una (0,5 +0,5)2 = 0,52 + 0,52 + 2×0,5×0,5 = 0,25 +0,25 +0,5; o sea (a+b)2 = a2 +b2 + 2.a.b; siendo a= frecuencia decimal del gen A1 y b= frecuencia decimal del gen A2

B.- Veamos si también se cumple para otro tipo de presupuesto : Pareja inicial: A1A1 y A1 A2.

– En este caso tenemos que los genes A1 = 75% (3 de 4); 0,75 en frecuencia decimal y A2 = 25% (1 de 4); 0,25 en frecuencia decimal

– Veamos como en el caso anterior que la primera generación producirá: A1A1(2/4) = 50% y A1 A2(2/4)= 50%.

-Si pasamos a la segunda generación donde, como en el caso anterior, cualquiera de los genotipos se puede cruzar con cualquiera de los otros.

Sumando las frecuencias de los genes:

-Para el gen A1=  (14+10)= 24 de 32= 24/32 x100 = 75%; 0,75 en frecuencia decimal

-Para el gen A2 = (2 +6)= 8 de 32 = 8/32 x100= 25%; 0,25 en frecuencia decimal

-Como vemos las frecuencias génicas se mantienen, como en el caso anterior.

Los genotipos obtenidos son:

-Veamos ahora las frecuencias genotípicas: en total (9+6+1) = 16

-El genotipo A1A1 se da en 9 de 16; 9/16×100 = 56,25% = 0,5625 en frecuencia decimal

-El genotipo A1 A2 se da en 6 de 16; 6/16 x100 = 37,5% = 0,375 en frecuencia decimal

-El genotipo A2 A2 se da en 1 de 16; 1/16×100 =6,25% = 0,0625 en frecuencia decimal

Comprobamos  ahora si la fórmula indicada (a +b)2 = a2 +b2 +2ab cuadra con lo obtenido:

(0,75 + 0,25)2 = 0,752 + 0,252 + 2x 0,75x 0,25= 0,5625 + 0,0625 + 0,375. Efectivamente cuadra!.

Por lo tanto, podemos Concluir lo siguiente:

1-Siempre que los cruzamientos se realicen de todas las formas posibles y con la misma frecuencia para cada posibilidad (al azar), las frecuencias de los genes permanece constante en las sucesivas generaciones.

2-Las frecuencias genotípicas, en las condiciones anteriormente indicadas, también se mantendrán constantes de generación en generación, aunque inicialmente no respondan a esas frecuencias (1ª generación caso A; 1ª generación caso B) y, además esas frecuencias se recuperan con sólo una generación donde el cruzamiento sea al azar.

Es decir que aunque la población inicial no esté  -digamos que en ese porcentaje de equilibrio genotípico-, si se le deja reproducirse al azar, recupera dicho equilibrio en sólo una generación (sus frecuencias genotípicas permanecen constantes) y ese equilibrio podrá calcularse estadísticamente conociendo las frecuencias de las variantes de sus  genes (alelos), a través de la fórmula (a+b)2, siendo “a” la frecuencia decimal de uno de los alelos y “b” la frecuencia del otro (éstos si permanecen constantes siempre) y en los distintos sumandos de la fórmula:

a2= la frecuencia del genotipo homozigóticos del Alelo A1.

b2 = la frecuencia del genotipo homoziótico del Alelo A2

2.a.b = la frecuencia del genotipo heterozigótico A1 A2 (=A2 A1).

También a la inversa: conociendo las frecuencias genotípicas en una población en equilibrio, podrán calcularse, a partir de ellas, las frecuencias de sus diferentes alelos.

3-Las frecuencias génicas son las que determinan las frecuencias de los genotipos. Por     tanto basta con conocer las frecuencias genotípicas en una población para conocer si las frecuencias  genotípicas presentes en ella hacen de ella una población equilibrada y, por lo tanto si los cruzamientos que se han producido en ella son “azarosos” o no.

4-Es conveniente observar que la suma de las frecuencias génicas (a + b) da igual a 1 (totalidad genes). Por tanto (a+b)2 = 12 = 1. La suma de a2 + b2 + 2ab =1 (totalidad genotipos).

5-Todas estas conclusiones se conocen en Genética como la Ley de Hardy-Weinberg

 

 

 

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