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10
enero

Matemáticas y ADN (8)

Geometria

La forma geométrica más habitual del ADN (B-ADN) es el de una doble espiral cilíndrica dextrógira.

Los valores concretos de sus dimensiones geométricas varían según el texto que consultemos aunque en unos márgenes relativamente estrechos. Las dimensiones que definen esa doble espiral y que nosotros vamos a tomar son:

1.-Vuelta de hélice (3,4 nm);

2.- Diámetro o ancho de la molécula (2,1 nm);

3.- Número de pares de bases por vuelta de hélice (10);

4.- Surco menor (1,3 nm)

5.- Surco mayor (2,1nm).

Veamos las conclusiones geométricas que podemos deducir de todos ellos.

1.- Angulo pendiente de las espirales en su trazado sobre la superficie cilíndrica que envuelve al ADN.

Tomando 2 datos:

Diámetro del cilindro por el que discurren las espirales es de 2,1nm y la vuelta de hélice (cuando cualquiera de las 2 hebras realiza un giro completo de 360º) es de 3,4 nm.

– si desenrollamos el cilindro en una vuelta de cualquiera de las hélices, el trazado de la hélice sería como el de la figura siguiente:

Con este desarrollo podemos calcular el ángulo pendiente de cada hélice que podemos llamar ángulo de elevación en cualquiera de sus puntos (el mismo en la otra espiral ya que se disponen paralelas entre sí),  ya que su tangente = 3,4/6,59 = 0,5154.

El valor de un ángulo cuya tangente es 0,5154  –consultado en unas tablas de valores de tangentes de ángulos- se corresponde con un ángulo entre 27 y 28º. Tomamos el valor de 27,5º.

Conocemos por tanto el grado de la elevación geométrica de cualquiera de las espirales que forman la estructura básica del ADN.

2.- Se trata ahora de determinar la separación entre ambas espirales.

Sabemos que son paralelas en el trazado (antiparalelas en cuanto a la disposición de sus componentes químicos), pero desconocemos cuánto se separan. Podemos averiguarlo geométricamente. En los gráficos que exponemos a continuación figuran algunos de los posibles trazados de ambas espirales, ambas desenrrolladas sobre la superficie cilíndrica, como en el caso anterior (más o menos juntas). No obstante, debemos elegir aquél cuya distancia vertical entre uno y otro se corresponda con la del Surco menor– distancia que separa las hélices en zonas complementarias-  que es otra característica importante en la estructura de la doble espiral del ADN y que debe ser igual a 1,3 nm.

En los gráficos anteriores, puede observarse que si la separación en vertical (surco menor) tiene que ser de 1,3 nm, dicha separación supone que tiene que existir una distancia en horizontal  (reflejada por las líneas rojas en el desarrollo de la circunferencia del cilindro que comprende las 2 espirales)  también concreta, que podemos calcular por el mismo método utilizado anteriormente.

Así, la tangente del ángulo, que conocemos, será igual a 1,3 dividido por la distancia de separación en la horizontal (despliegue de la circunferencia cilíndrica), representada por la línea de color rojo.

0, 5154 = 1,3nm/x ; x = 1,3nm/0,5154 =  2,5223 nm

Este valor se corresponde con el valor del arco de la circunferencia cilíndrica que separa en todos los puntos de la superficie cilíndrica las dos espirales del ADN a la misma altura.

El valor en grados de ese arco (cerrada la molécula), también podemos calcularlo por una sencilla regla de tres: si los 360º (circunferencia completa) tiene una longitud de π. 2,1nm = 6,597nm; a un arco de 2,5223nm, le corresponderán “x” grados. Así,  “x” = 2,5223 x 360/6,597 = 137,64 º.

Arco de separación de las espirales (1 – 1´) = 137,6º (separación)

 

 

Las 2 espirales del ADN mantendrán en el mismo nivel de su trazado la misma separación 137,6 º a todo lo largo de  su recorrido por la superficie cilíndrica ya que tienen trazado paralelo.

4.- Por otro lado sabemos que por cada vuelta de hélice hay 10 pares de bases. Los pares de bases son la conexión horizontal entre las 2 hélices (se corresponderían con el punto de arranque de los pares de bases que conectan una espiral con la otra: A-T y G-C). Los puntos de conexión reflejados en la figura anterior se repetirán, por tanto, cada vez que el trazado de ambas asciende (también en sentido descendente) 36º, ya que en 360º debe haber 10 conexiones completando la vuelta completa.

Este sería el aspecto geométrico de la molécula de ADN cuando observamos el interior del cilindro en cada vuelta de hélice y volvería a repetirse vuelta tras vuelta puesto que cada  36 º vuelven a coincidir los puntos. Si bien, como las bases que unen una espiral con la otra no son líneas, (como en el gráfico) sino que se extienden con sus superficies y volúmenes correspondientes, este aspecto geométrico quedaría enmascarado.

5.- El surco mayor se correspondería con la distancia vertical entre una espiral y su inmediata complementaria, pero no a la misma altura, sino sobre el trazado en la superficie cilíndrica con la inmediata complementaria superior.

Sería =  valor de la vuelta de hélice – valor del surco menor = 3, 4 – 1,3 = 2,1 nm

6.-Conclusiones.

-Con todos estos valores definimos geométricamente todos los parámetros que caracterizan la estructura tridimensional más común del ADN. La estructura B-ADN.

– Como aspecto anecdótico (¿ó no?) cabe resaltar que B-ADN presenta un conjunto de proporciones aúreas,  o “divinas proporciones”, a las que también se conoce en geometría como “el número de oro”, simbolizado por la letra griega fí (ɸ).

– 1ª. Proporción entre  vuelta de hélice/diámetro de la Base= ɸ

– 2ª. Proporción  entre vuelta de hélice/ surco mayor = ɸ

– 3ª. Proporción surco mayor/ surco menor =ɸ

– 4ª. Proporción arco circunferencia surco mayor/ arco surco menor = ɸ

(tanto si lo medimos en distancia como en grados)

-5ª. Proporción entre valor circunferencia/ arco surco mayor = ɸ

(tanto en distancia como en grados)

Por otro lado:

-Uniendo los puntos 1,2,3….10 del gráfico anterior obtenemos un decágono regular, e igualmente si unimos los puntos 1´, 2´, 3´´,…10´. También el decágono presenta proporciones aúreas: si dividimos el valor del radio de la circunferencia que lo circunscribe, es decir, (1,05 nm: mitad del diámetro de la base= radio) por el valor del lado del decágono (x) ; Así 1,61 (valor de fí) = 1,05/x; x =1,05/1,61 = 0,65 nm, que sería la distancia proyectada en la base que separa los puntos de arranque de 2 pares de bases consecutivas.

-las lineas de los trazados entre bases entre  una y otra de las espirales determinan la formación de un espacio interior que tiene forma de decágono regular. También en este otro decágono se cumple la misma condición anterior.

Como puede comprobarse el ADN, base de la vida, tiene una geometría llena de oro.

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