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7
noviembre

Matemáticas y ADN (5)

Genes, alelos y Genotipos

En esta ocasión vamos a intentar buscar una relación matemática entre las diferentes variantes (alelos) que puede presentar un gen  y el número de combinaciones binarias (genotipos) entre ellos en las especies diploides.

Empecemos, como siempre, por el caso más sencillo: 2 variantes o alelos para el mismo gen que, como siempre, ocuparán el mismo locus cromosómico.

Alelos Combinaciones binarias iguales o Genotipos Homozigóticos Combinaciones binarias diferentes o Genotipos  heterozigóticos Total de posibles genotipos
A1 y A2

 

(2)

1- A1 A1

2- A2 A2

1- A1 A2

(*)

2 homozigóticos

1 heterozigóticos

2 posibles 1 posible 3 posibles

 

 

Alelos Combinaciones binarias iguales o Genotipos Homozigóticos Combinaciones binarias diferentes o Genotipos  heterozigóticos Total de posibles genotipos
A1 ,  A2 y A3

 

 

 

(3)

1-A1 A1

2- A2 A2

3- A3 A3

1-A1 A2

2- A1 A3

3- A2 A3

(*)

3 homozigóticos

3 heterozigóticos

3 posibles 3 posibles 6 posibles

 

 

Alelos Combinaciones binarias iguales o Genotipos Homozigóticos Combinaciones binarias diferentes o Genotipos  heterozigóticos Total de posibles genotipos
A1 ,  A2 , A3 y A4

 

 

 

 

 

 

(4)

1-A1 A1

2- A2 A2

3- A3 A3

4- A4 A4

1-A1 A2

2-A1 A3

3-A1 A4

4-A2 A3

5-A2 A4

6-A3 A4

(*)

4 homozigóticos

6 heterozigóticos

4 posibles  6 posibles 10  posibles

 

 

 

Alelos Combinaciones binarias iguales o Genotipos Homozigóticos Combinaciones binarias diferentes o Genotipos  heterozigóticos Total de posibles genotipos
A1 ,  A2 , A3 , A4 y A5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

A1 A1

A2 A2

A3 A3

A4 A4

A5 A5

A1 A2

A1 A3

A1 A4

A1 A5

A2 A3

A2 A4

A2 A5

A3 A4

A3 A5

A4 A5

(*)

5 homozigóticos

10 heterozigóticos

5  posibles  10  posibles 15  posibles

 

 

Alelos Combinaciones binarias iguales o Genotipos Homozigóticos Combinaciones binarias diferentes o Genotipos  heterozigóticos Total de posibles genotipos
A1 ,  A2 , A3 , A4 , A5 y  A6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

1-A1 A1

2- A2 A2

3- A3 A3

4- A4 A4

5- A5 A5

6- A6 A6

1-A1 A2

2- A1 A3

3- A1 A4

4- A1 A5

5- A1 A6

6- A2 A3

7- A2 A4

8- A2 A5

9- A2 A6

10- A3 A4

11- A3 A5

12- A3 A5

13- A4 A5

14- A4 A6

15- A5 A6

(*)

6 homozigóticos

15 heterozigóticos

6  posibles  15  posibles 21  posibles

 

(*) La combinación A1 A2 es la misma que A2A1 y por ello no se consideran como 2 combinaciones diferentes; y lo mismo A1 A3=A3 A1; A2 A4 = A4 A2,….. y así sucesivamente.

Por tanto:

Nº alelos Nº de Homozigotos Nº Heterozigotos Total genotipos
2 2 1 3
3 3 3 6
4 4 6 10
5 5 10 15
6 6 15 21

 

Conclusiones:

1.-  Parece seguro que el nº de homozigóticos coincide con el nº de alelos; si llamamos “n “ al nº de variantes alélicas (variable principal), el nº de genotipos homozigóticos para cualquier nº “n” será igual a “n”.

2.- Con el nº de heterozigóticos, en función de “n” parece que no es tan simple encontrar una relación: De 2, sólo 1; de 3 salen 3, de 4 salen 6, de 5 salen 10, de 6 salen 15, de “n”….saldrían?.

Podemos probar con el total de genotipos para ver si es más fácil la relación y luego descontar los homozigotos: de 2 salen 3; de 3 salen 6; de 4 salen 10; de 5 salen 15 de 6 salen 21, de “n”… parece que n . (n+1)/2 nos cuadra con cualquiera de los resultados obtenidos. 2×3/2 =3;  3×4/2=6;  4 x5/2 =10;  5×6/2 =15;  6×7/2=21.

Por lo que parece esta fórmula funciona, así que para el cálculo de los heterozigóticos = nºTotal – nº homozigóticos = n.(n+1)/2 –n  = (n. (n+1)-2n)/2  =  (n(n+1-2))/2  =  n(n-1)/2

Veamos si cumple: para 2, 2×1/2 =1; para 3, 3×2/2 =3; para 4,  4×3/2=6; para 5,  5×4/2 =10; para 6, 6×5/2 =15,… Vemos que se cumple también la fórmula en todos los casos.

Nota: Otra forma de calcular el nº total de genotipos que da resultado es  N= n +(n-1)+ (n-2)+ (n-3) +…….(n-(n-1)). Así para 5 alelos N= 5+4+3+2+1 = 15 genotipos.

Nota: para los que conocen combinatoria matemática, los heterozigóticos serían combinaciones (donde el orden no importa)  sin repetición de “n” elementos tomados de 2 en 2 = = n!/2! (n-2)! =n. (n-1).(n-2). (n-3)…/2. (n-2). (n-3)…= n (n-1)/2

Así para 2 alelos = 2!/2!(2-2)! = 2/ 2 =1  , recuérdese que 0!=1

Así para 3 alelos =3!/2! (3-2)! = 6/2 = 3

Así para 4 alelos = 4!/2! (4-2)! = 24/4= 6

Así para 5 alelos = 5!/2!(5-2)! = 120/12 =10

Lo mismo para el resto de alelos.

Por tanto y generalizando:

Nº alelos Nº de Homozigotos Nº Heterozigotos Total
n n n.(n-1)/2 n.(n+1)/2

 

Cualquier gen que presente “n” variantes (alelos), el nº de genotipos posibles será n. (n+1)/ 2, de los cuales “n” será el nº de genotipos homozigóticos y,   n. (n-1)/2 corresponderá con el nº de genotipos heterozigóticos posibles.

Los genes que presentan más de 2 alelos posibles se denominan genes con alelomorfismo múltiple.

Un ejemplo sencillo  de genes con alelomorfismo múltiple son los que determinan el grupo sanguíneo humano del Sistema ABO, siendo 3 los alelos posibles (A, B y O). Los genotipos homozigóticos serán 3: AA, BB y OO y los genotipos heterozigóticos, otros 3: AB, AO, BO. En este caso la diferente potencia de expresión de los diferentes alelos A=B>O, implica que los fenotipos resultantes sean A, B, O,  AB, A y B respectivamente. Sólo 4 fenotipos para 6 genotipos posibles. Como se ve, los fenotipos posibles dependerán de la fuerza expresiva que posean las diferentes variantes (alelos) del  gen en cuestión.

 

Otro caso humano de alelomorfismo múltiple es el caso de los genes STR. Los genes STR son genes situados en diferentes posiciones de la molécula del ADN nuclear humano que se caracterizan por presentar una secuencia corta de bases (Short=Corta) (la misma en cada gen STR) repetida a continuación una de otra  en un número de repeticiones bastante variado (Tandem Repeat= repetidas en tándem). Por ejemplo……..ACTG ACTG ACTG ACTG ACTG ACTG…… Esta secuencia se repite en el mismo locus o posición de la molécula de ADN de todos las personas y el nº de repeticiones puede variar entre, por ejemplo 6 a 18 veces. Por tanto, los alelos  o variantes posibles serán 6 repeticiones, 7, repeticiones, 8 repeticiones, nueve repeticiones,…….. y así hasta 18 repeticiones. Es decir 13 alelos diferentes. Las personas tendrán un genotipo concreto de entre los 13×14/2= 91 genotipos posibles. Así, por ejemplo un individuo será (11, 11) ó (8,18) ó ( 9, 16 ) ó cualquier combinación de 2 nºs de repeticiones entre el 6 y el 18. Se pueden analizar al detectar y diferenciarlos  por su longitud en electroforesis.

Estos genotipos, que se sepa, no determinan ningún fenotipo ni externo ni interno de cada individuo (aparentemente no tienen función fisiológica ninguna), pero se pueden analizar y diferenciar individuos por ellos. Así, analizando los 91 genotipos posibles para ese gen STR diferenciamos a 1 individuo entre 91 posibles.

El análisis de uno sólo de esos genotipos nos diferencia a una persona entre 91, pero  como en el ADN hay más lugares con repeticiones STR (con otra secuencia y con igual o superior nº de repeticiones en tándem y situados en diferentes cromosomas), la combinación de varios de esos locus nos amplía considerablemente y en progresión geométrica la diferenciación individual.

Por ejemplo:

Gen o Locus STR Secuencia repetida Localizado en el cromosoma…. Nº de variantes o alelos Diferenciación de Genotipos Diferenciación conjunta

(*)

STR 1 ACTG 2 13 13×14/2= 91;

1 de 91

 

1 de 91

STR 2 TATGC 4 9 9 x10/2 = 45

1 de 45

91 x 45 = 4.095

1 de 4.095

STR 3 GCTACC 7 18 18×19/2= 171

 

1 de 171

4.095 x 171 =

700.245

1 de 700.245

STR 4 TTAAG 13 14 14 x15/2 =105

 

1 de 105

700.245 x 105 =73.525.725

1 entre 7,5 millones

STR 5 CCGAT 18 20 20×21/2 = 210

 

1 de 210

73.525.725 x 210 = 15.440.402.250

1 entre 15,4 miles de millones

(*) Al ser cada locus STR independiente de cualquier otro, cada uno de ellos admite cualquier combinación del otro, por ello se multiplican las combinaciones al considerarlas conjuntamente.

Nota: los alelos STR del ejemplo son inventados. En realidad son muy similares y valen como ejemplo.

Analizando sólo 5 genes STR del genoma humano (siempre que se localicen en cromosomas diferentes para que sean genes independientes), podemos diferenciar por el genotipo conjunto de los 5 genes  a 1 persona entre 15, 4 miles de millones de personas.

El perfil genético que usa la policía en sus análisis de ADN (tan utilizado en cualquier delito) analiza nada menos que entre 13 y 16  de esos locus STR y así puede afirmar categóricamente –con una certeza muy próxima al 100%- de qué individuo se trata (siempre que tenga archivado el perfil genético de esa persona o que al sospechoso se le haga un análisis de su perfil genético y concuerde o no para confirmar su culpabilidad o inocencia).

El hecho de no poder llegar a una certeza absoluta del 100% se debe principalmente al hecho de que existen alelos y genotipos más frecuentes que otros en las poblaciones para los diferentes genes STR y no del modo que nosotros lo hemos considerado, con igualdad de posibilidades para todos ellos. Con todo, la coincidencia proporciona una confirmación del 99,99% o incluso mayor.

Estos análisis de perfil genético nos  sirven, además, para determinar parentescos entre personas. De los 2 alelos que una persona posee en cualquiera de sus genes STR, uno de ellos lo ha recibido de su padre biológico y el otro de su madre. Por tanto, el padre o supuesto padre biológico tiene que  tener en sus dos alelos de cada uno de los genes STR, uno de los 2 que posee el hijo o supuesto hijo; y lo mismo con la madre o supuesta madre.

Ver artículos en nuestro blog: http://bit.ly/235x0oa .  http://bit.ly/2opCTQF . Y el documento de perfiles genéticos: http://bit.ly/2x7fs2E

En las demandas judiciales de paternidad –tan de actualidad en estos días con respecto a personas famosas-  estas pruebas de comparación de perfiles genéticos constituyen una prueba fundamental. También para otro grado de parentesco pero no con tanta fiabilidad.

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