Para estudiantes ESO

16
mayo

Química y ADN (3)

Cuantificar el ADN.- 3

En el post anterior vimos cómo los científicos disponen de cantidades irrisoria de ADN para realizar sus investigaciones.

Una forma de obtener más cantidad de ADN, que al menos, nos haga disponer de cantidades mayores en varios rangos de magnitud (ng o incluso µg) es la técnica de la PCR (Polymerase Chain Replication), que viene a ser como una fotocopiadora de un fragmento de ADN produciendo varios miles de copias idénticas, incluso millones de las mismas. Esto eleva la cantidad 1 o 2 rangos más la magnitud de la cuantía. Aun así, se obtienen nanogramos o microgramos.

Volvemos con la misma pregunta: ¿Es posible que una balanza nos mida la cantidad de ADN en esas cantidades tan exiguas? Tampoco es posible. Entonces, ¿cómo cuantificamos el ADN que tenemos para trabajar? Vamos a ello.

El ADN tiene otra peculiaridad peculiar: su absorbancia específica. Esta propiedad significa que absorbe la luz (radiación electromagnética) en una determinada longitud de onda, la de 260 nm, una radiación concreta dentro de la franja del ultravioleta. Además, dicha absorbancia es proporcional a la cantidad de ADN presente. Tener un aparato –espectrofotómetro- que mida la absorbancia obtenida en una muestra con ADN, traduce  la cantidad de ADN presente. Así es como se cuantifica el ADN presente y es una forma indirecta de hacerlo.

Aunque no es lo mismo, como analogía, nos puede servir el ejemplo del café: sólo, más o menos cortado o con más o menos leche. Observando su color, podemos determinar la mayor o menor cantidad de café presente.

Los científicos han calibrado los espectrofotómetros con cantidades de ADN conocidas para servir como referencia a cualquier otra cantidad. Así es como conseguimos determinar las cantidades exactas (en unidades de masa) con las que se trabaja.

Absorbancia: La espectrofotometría es un método científico utilizado para medir cuanta luz absorbe una sustancia química, midiendo la intensidad de la luz cuando un haz luminoso pasa a través de la solución muestra, basándose en la ley de Beer – Lambert.  Esta medición también puede usarse para medir la cantidad de un producto químico conocido en una sustancia.

Ley de Beer – Lambert: A = – log10 I1 /I0 , siendo A la medida de la absorbancia, I1 la intensidad de la luz al salir  e I0 la intensidad de la misma al entrar.

El ADN tiene la peculiaridad de presentar absorbancia específica con un determinado tipo de luz uV a 260 nm de longitud de onda.

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15
mayo

Química y ADN (2)

Cuantificar el ADN .- 2

“MASAR” el ADN

En el post anterior decíamos que, para cuantificar ADN,  se trabaja habitualmente con su masa. ¿Cómo calcular su masa?. Con una balanza es imposible porque, aunque el ADN, es una molécula grandísima, aun juntando un nº grande de ellas, su masa sería tan insignificante que ni siquiera una balanza de precisión podría hacerlo. Debemos hacerlo indirectamente.

Veamos la razón de lo anteriormente expuesto  realizando un cálculo.

Empecemos por calcular la masa de una unidad de masa atómica (uma=Dalton). Nos servimos del concepto de mol, expuesto anteriormente.

1mol de Hidrogeno pesa 1 gramo y tiene 6,02 x1023 átomos y cada átomo tiene 1 uma (unidad de masa atómica). Por un sencillo cálculo,  1 sólo átomo de hidrógeno (1 uma) tendrá 1/6,02 x1023 gramos = 1/6,02 x 10 -23 g = 0,166 x 10-23 = 1,66 x 10-24 gramos. Esta cantidad es tan pequeña que deberíamos utilizar submúltiplos del gramo para manejarnos mejor:

Así, 1 uma=  1,66 x10-24 gramos = 1,66 x 10-21 mg = 1,66 x10 -18 μg = 1,66 x10-15 ng = 1,66 x 10 -12 pg = 1,66 x 10-9 fg

Como te decía: ¿A ver qué balanza pesa esa ridícula cantidad?

Bien pasemos ahora a calcular la masa del ADN nuclear de 1 célula humana. Sabemos que todo el ADN envasado en los 46 cromosomas humanos, tiene un total  6.000 millones de pares de nucleótidos, distribuidos heterogéneamente en los diferentes cromosomas. De los pares de nucleótidos sí que sabemos su masa molecular ya que podemos sumar  la masa atómica de todos los átomos que los conforman con sólo mirar sus fórmulas e ir contando. Cada para de nucleótidos A-T y G-C nos da una cifra similar que podemos igualar en 630. (630 umas).

Por tanto el ADN de una célula humana tiene una masa de : 1,66 x 10-24 g x 630 x 6.000.000.000 (6 x 109) = 6.274,8 x 10-15= 6,275 x 10-12 g = 6,27 pg.

Tampoco podríamos pesar una cantidad tan insignificante ni con la mejor balanza de precisión.

Veamos ahora con cuantas células humanas tendríamos que hacernos para  obtener una cantidad significativa (digamos 1 gramo) de ADN.

Si  el ADN de una célula tiene 6,27 pg, el nº de células para hacer 1 g de ADN sería = 1g/6,27pg/célula= 1 x 1012 pg /6,27 pg/célula = 0,16 x 1012 células = 1,6 x1011 células = 160.000.000.000 (ciento sesenta mil millones) de células. Como dicen los andaluces: ¡una jartá dellas!.

Ahora incluso podemos calcular la cantidad de ADN que contiene el cuerpo humano completo ya que, según estimaciones más verosímiles, su número asciende a 30 billones (30.000.000.000.000 = 3 x 1013 células). Los gramos de ADN del cuerpo humano = 3×1013 células / 1,6 x1011 células/gramo = 1,87 x 102 g = 187 g (*)

(*) Otros cálculos estiman en 37 billones el nº de células del cuerpo humano. Por tanto 3,7×1013 /1,6×1011 celulas/gramo= 2,31 x102 g = 231 g

Con todos estos datos podemos hacernos una idea de la escasa cantidad de ADN con la que los científicos tienen que trabajar cuando, por ejemplo, extraen una muestra de tejido sanguíneo para obtener  el ADN de los glóbulos blancos, o cuando se extrae una muestra de semen o un frotis de la mucosa bucal: escasos picogramos y, en el mejor de los casos, nanogramos.

Surge de nuevo la pregunta: ¿Cómo averiguar la cantidad en masa del ADN obtenido si no existe balanza de precisión que alcance tales magnitudes?.  La respuesta en el próximo post.

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14
mayo

Química y ADN (1)

Cuantificar el ADN.- 1

El Mol y el ADN

 

El  “Mol”; esa palabreja que pone los pelos de punta al estudiante cuando se la encuentra en alguno de esos problemas de química. No obstante, para trabajar químicamente con las sustancias químicas y conocer sus cantidades, los moles con sus múltiplos y submúltiplos, son imprescindibles, ya que son una forma de cuantificar la sustancia con la que se trabaja.

Todos sabemos lo que es un par, un trío, un cuarteto, una decena, una docena, una centena, etc. Todas estas palabras se refieren a una cantidad de unidades iguales: 2, 3, 4, 10, 12, 100, respectivamente. El “mol” pertenece a ese tipo de palabras que también expresan una cantidad de unidades iguales, pero en este caso  una cantidad enorme: 602.000 trillones. Por tanto 602.000 trillones de cosas iguales hacen 1 mol de esas cosas.  Los científicos ponen esa cantidad en potencias de 10 y así, 602.000.000.000.000.000.000.000 = 6,02 x 1023.

¿Por qué esa cantidad y no otra?. La razón es que para conseguir 1 gramo de átomos de hidrógeno (H=masa atómica 1 unidad de masa atómica) es necesario juntar un mol (6,02 x1023) de esos átomos.  Y lo mismo para cualquier otro elemento químico. Se necesita esa  misma cantidad de átomos para conseguir los gramos determinados por su masa atómica. Ejemplo: el Carbono (C)  tiene una masa atómica de 12 (es 12 veces más másico que el Hidrógeno) lo que significa que para obtener 1 mol de átomos de carbono tendríamos que juntar 6,02 x1023 átomos de carbono cuya masa total sería de 12 gramos. El mol es siempre la misma cantidad, pero la masa de 1 mol depende de qué cosas estamos hablando. Lo mismo que una docena de huevos no tiene la misma masa que una docena de melones.

Lo mismo sucede con aquellas sustancias químicas cuyas moléculas están formadas por una agrupación de átomos. Por ejemplo, el Agua (H2O) cuya masa –en este caso molecular- es de 18 (16 por el átomo de Oxígeno y 2 por los 2 átomos de hidrógeno que la forman). 1 mol de agua tendría una masa de 18 gramos y contendría 6,02 x 1023 moléculas de agua.

El ADN también es una sustancia química, pero tiene una peculiaridad peculiar: Es muy larga, pero  puede ser más larga  o más corta (mayor o menor masa molecular), según de qué ADN estemos hablando y, además, normalmente, cuando en el laboratorio se trabaja con el ADN se acostumbra a trocearlo en multitud de fragmentos heterogéneos de diferente longitud y, por tanto de diferente masa,, y por tanto, no se obtienen moléculas iguales. Así no podemos medirlo en moles, ya que para ello sería necesario que los fragmentos fuesen iguales. Recuerda que en  el mol  se cuentan cosas iguales. Sólo sería posible hablar de moles cuando los fragmentos de ADN fuesen iguales,  o cuantificando los componentes básicos del ADN (A,T,G,C) o sus pares  (A-T) y  (G-C).

Por esa razón, en los laboratorios donde se trabaja el ADN las cifras para su cuantificación de dan en unidades de masa y no de moles. ¿Y cómo “masar” el ADN?. Pista en el próximo post.

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24
abril

DIA DEL ADN 2018

25 de Abril de 1953. La revista científica “Nature” publica el famoso trabajo de Watson y Crick sobre la estructura del ADN.  Este trabajo supuso una auténtica revolución en Biología y constituyó la  base para múltiples investigaciones y descubrimientos posteriores que han revolucionado todos los campos donde la aplicación de los conocimientos biológicos han tenido lugar. Esa fecha es la que la comunidad internacional ha adoptado para celebrar cada año el día del ADNN. 65 años después nos encontramos en pleno siglo de la revolución biotecnológica.

La estructura que descubrieron Watson y Crick no es la única – aunque sí la más frecuente y habitual-  que el ADN puede adoptar y, para homenajear este día tan señalado,  vamos a indicar, a través de un cuadro comparativo, las otras dos estructuras que el ADN también puede presentar.  Estas otras estructuras se han denominado A-ADN y Z-ADN,  frente a la habitual de Watson y Crick que se denomina B-ADN. Todas ellas están  constituídas por una doble cadena (2 hebras) de polinucleótidos de ADN complementarias y antiparalelas, retorcidas en forma de doble hélice.

En la imagen puede apreciarse las diferencias estructurales entre las diferentes conformaciones que puede presentar el ADN. Químicamente son todas iguales: todos sus componentes químicos, posiciones de sus enlaces, tanto fuertes  (covalentes) como débiles (puentes de hidrógeno),  son coincidentes. La diferente conformación se debe a que, según condiciones, algunos enlaces pueden adoptar orientaciones diferentes forzando , en cada caso, una estructura distinta sin  romper esa unidad de estructura química.

¡¡¡ FELIZ DIA DEL ADN 2018 !!!

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10
enero

Matemáticas y ADN (8)

Geometria

La forma geométrica más habitual del ADN (B-ADN) es el de una doble espiral cilíndrica dextrógira.

Los valores concretos de sus dimensiones geométricas varían según el texto que consultemos aunque en unos márgenes relativamente estrechos. Las dimensiones que definen esa doble espiral y que nosotros vamos a tomar son:

1.-Vuelta de hélice (3,4 nm);

2.- Diámetro o ancho de la molécula (2,1 nm);

3.- Número de pares de bases por vuelta de hélice (10);

4.- Surco menor (1,3 nm)

5.- Surco mayor (2,1nm).

Veamos las conclusiones geométricas que podemos deducir de todos ellos.

1.- Angulo pendiente de las espirales en su trazado sobre la superficie cilíndrica que envuelve al ADN.

Tomando 2 datos:

Diámetro del cilindro por el que discurren las espirales es de 2,1nm y la vuelta de hélice (cuando cualquiera de las 2 hebras realiza un giro completo de 360º) es de 3,4 nm.

– si desenrollamos el cilindro en una vuelta de cualquiera de las hélices, el trazado de la hélice sería como el de la figura siguiente:

Con este desarrollo podemos calcular el ángulo pendiente de cada hélice que podemos llamar ángulo de elevación en cualquiera de sus puntos (el mismo en la otra espiral ya que se disponen paralelas entre sí),  ya que su tangente = 3,4/6,59 = 0,5154.

El valor de un ángulo cuya tangente es 0,5154  –consultado en unas tablas de valores de tangentes de ángulos- se corresponde con un ángulo entre 27 y 28º. Tomamos el valor de 27,5º.

Conocemos por tanto el grado de la elevación geométrica de cualquiera de las espirales que forman la estructura básica del ADN.

2.- Se trata ahora de determinar la separación entre ambas espirales.

Sabemos que son paralelas en el trazado (antiparalelas en cuanto a la disposición de sus componentes químicos), pero desconocemos cuánto se separan. Podemos averiguarlo geométricamente. En los gráficos que exponemos a continuación figuran algunos de los posibles trazados de ambas espirales, ambas desenrrolladas sobre la superficie cilíndrica, como en el caso anterior (más o menos juntas). No obstante, debemos elegir aquél cuya distancia vertical entre uno y otro se corresponda con la del Surco menor– distancia que separa las hélices en zonas complementarias-  que es otra característica importante en la estructura de la doble espiral del ADN y que debe ser igual a 1,3 nm.

En los gráficos anteriores, puede observarse que si la separación en vertical (surco menor) tiene que ser de 1,3 nm, dicha separación supone que tiene que existir una distancia en horizontal  (reflejada por las líneas rojas en el desarrollo de la circunferencia del cilindro que comprende las 2 espirales)  también concreta, que podemos calcular por el mismo método utilizado anteriormente.

Así, la tangente del ángulo, que conocemos, será igual a 1,3 dividido por la distancia de separación en la horizontal (despliegue de la circunferencia cilíndrica), representada por la línea de color rojo.

0, 5154 = 1,3nm/x ; x = 1,3nm/0,5154 =  2,5223 nm

Este valor se corresponde con el valor del arco de la circunferencia cilíndrica que separa en todos los puntos de la superficie cilíndrica las dos espirales del ADN a la misma altura.

El valor en grados de ese arco (cerrada la molécula), también podemos calcularlo por una sencilla regla de tres: si los 360º (circunferencia completa) tiene una longitud de π. 2,1nm = 6,597nm; a un arco de 2,5223nm, le corresponderán “x” grados. Así,  “x” = 2,5223 x 360/6,597 = 137,64 º.

Arco de separación de las espirales (1 – 1´) = 137,6º (separación)

 

 

Las 2 espirales del ADN mantendrán en el mismo nivel de su trazado la misma separación 137,6 º a todo lo largo de  su recorrido por la superficie cilíndrica ya que tienen trazado paralelo.

4.- Por otro lado sabemos que por cada vuelta de hélice hay 10 pares de bases. Los pares de bases son la conexión horizontal entre las 2 hélices (se corresponderían con el punto de arranque de los pares de bases que conectan una espiral con la otra: A-T y G-C). Los puntos de conexión reflejados en la figura anterior se repetirán, por tanto, cada vez que el trazado de ambas asciende (también en sentido descendente) 36º, ya que en 360º debe haber 10 conexiones completando la vuelta completa.

Este sería el aspecto geométrico de la molécula de ADN cuando observamos el interior del cilindro en cada vuelta de hélice y volvería a repetirse vuelta tras vuelta puesto que cada  36 º vuelven a coincidir los puntos. Si bien, como las bases que unen una espiral con la otra no son líneas, (como en el gráfico) sino que se extienden con sus superficies y volúmenes correspondientes, este aspecto geométrico quedaría enmascarado.

5.- El surco mayor se correspondería con la distancia vertical entre una espiral y su inmediata complementaria, pero no a la misma altura, sino sobre el trazado en la superficie cilíndrica con la inmediata complementaria superior.

Sería =  valor de la vuelta de hélice – valor del surco menor = 3, 4 – 1,3 = 2,1 nm

6.-Conclusiones.

-Con todos estos valores definimos geométricamente todos los parámetros que caracterizan la estructura tridimensional más común del ADN. La estructura B-ADN.

– Como aspecto anecdótico (¿ó no?) cabe resaltar que B-ADN presenta un conjunto de proporciones aúreas,  o “divinas proporciones”, a las que también se conoce en geometría como “el número de oro”, simbolizado por la letra griega fí (ɸ).

– 1ª. Proporción entre  vuelta de hélice/diámetro de la Base= ɸ

– 2ª. Proporción  entre vuelta de hélice/ surco mayor = ɸ

– 3ª. Proporción surco mayor/ surco menor =ɸ

– 4ª. Proporción arco circunferencia surco mayor/ arco surco menor = ɸ

(tanto si lo medimos en distancia como en grados)

-5ª. Proporción entre valor circunferencia/ arco surco mayor = ɸ

(tanto en distancia como en grados)

Por otro lado:

-Uniendo los puntos 1,2,3….10 del gráfico anterior obtenemos un decágono regular, e igualmente si unimos los puntos 1´, 2´, 3´´,…10´. También el decágono presenta proporciones aúreas: si dividimos el valor del radio de la circunferencia que lo circunscribe, es decir, (1,05 nm: mitad del diámetro de la base= radio) por el valor del lado del decágono (x) ; Así 1,61 (valor de fí) = 1,05/x; x =1,05/1,61 = 0,65 nm, que sería la distancia proyectada en la base que separa los puntos de arranque de 2 pares de bases consecutivas.

-las lineas de los trazados entre bases entre  una y otra de las espirales determinan la formación de un espacio interior que tiene forma de decágono regular. También en este otro decágono se cumple la misma condición anterior.

Como puede comprobarse el ADN, base de la vida, tiene una geometría llena de oro.

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22
diciembre

EL NUEVO JUEGO DIDÁCTICO DE LA HERENCIA BIOLÓGICA: “MENDEL A LA CARTA”

 

Uno de los problemas con que se encuentran los profesores de ciencias en enseñanza secundaria y Bachillerato  es el modo de hacer comprensible a sus alumnos determinados conceptos de la ciencia específica de la que se ocupan. Buscan, a menudo, hacer más accesibles las explicaciones con ejemplos –si es posible- de la vida real y sus circunstancias concretas que ayuden a su comprensión.

En determinadas edades todavía la dificultad es mayor, ya que la diversidad en la madurez intelectual de los alumnos obliga a simplificaciones en los ejemplos y a realizar explicaciones diversas y repetitivas (por activa, pasiva y perfifrástica; como se acostumbraba a decir no hace muchos años).

Por eso, desde DNA DIDACTIC consideramos que una de las formas más eficaces para conseguir este fin es realizar el proceso de enseñanza-aprendizaje mediante modelos que permitan visualizar y manipular materiales que simulen y concreten los conceptos científicos de los que tratamos.

Porque igual que no podemos visualizar y manipular los átomos reales, sí podemos representarlos en forma de “bolitas” que encajen unas con otras para representar sus enlaces y las moléculas resultantes. Así, los alumnos manipulando estos materiales, viendo de modo práctico el encaje, o no, entre ellas, descubren lo más esencial de las leyes de la química; incluso puede que lleguen a plantearse nuevas cuestiones como: ¿existe la forma de manipular los encajes? ¿y de crear nuevas combinaciones para crear nuevas moléculas?… etc.

En Biología, concretamente en Genética, el concepto de gen y su transmisión hereditaria es uno de esos conceptos básicos de esta ciencia con cierta dificultad para nuestros alumnos de enseñanza secundaria-  y, por eso,  con ese mismo criterio – visual y manipulativo- del ejemplo anterior, hemos elaborado nuestro nuevo juego didáctico para el aula: MENDEL A LA CARTA.

Este material didáctico está confeccionado contemplando una supuesta especie en su conjunto, que abarca muchos caracteres genéticos, aunque no impide manipular el material para tratarlos individualmente del modo en que lo realizó Mendel,  o de dos en dos,… o conjuntamente todos ellos. Además, añadimos variantes génicas : 2, 3 o más alelos (con diferentes expresiones: dominancia, codominancia, intermedia), incluso otro más complejos como pueden ser los caracteres multifactoriales. De esta forma, se pretende que los alumnos  -a través de su visualización y manipulación- adquieran un conocimiento arraigado de la variedad asociada a los factores que determinan la herencia biológica, su naturaleza y transmisión.

Lo hacemos de un modo visual a través de un conjunto de “cartas” que expresan el modo en que se encuentran dichos factores: en sus envases (formando los cromosomas: teoría cromosómica de la herencia), con una secuencia de ADN específica para cada uno, con su específica fuerza expresiva, su manifestación y la forma de detectarlos que nos ofrecen las técnicas actuales.

 

Podemos decir que jugando a las cartas , asociándolas por parejas, y deshaciéndolas en su distribución podrán comprender  de forma gráfica  las leyes de la herencia biológica como si de un juego de cartas se tratase.

Esta pretende ser nuestra contribución: dotar a los profesores de biología de una nueva y atractiva herramienta, un material para una enseñanza significativa a sus alumnos para que su  aprendizaje de los fundamentos científicos de la herencia biológica sea inmersivo, dinámico y eficaz.

El Pack Aula de MENDEL A LA CARTA está  preparado, además, para que se trabaje con él en equipos de alumnos y no de forma individual. Creemos que las sinergias que se crean entre sus miembros favorecen a todos y cada uno de los miembros de cada equipo. Siempre bajo la dirección y planteamiento del profesor, conocedor de las peculiaridades de su aula, y quien podrá orientar las actividades ayudado por las pautas sugeridas en la Guía Didáctica (incluida) de este juego.

Si quieres más información sobre MENDEL A LA CARTA, puedes visitar la Página web exclusiva de este producto.

 

Y, como siempre: ¡Esperamos que disfrutéis aprendiendo con nuestros materiales didácticos!

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11
diciembre

Matemática y ADN (7c)

 

Genética de Poblaciones (3)

Veamos ahora una aplicación práctica sobre genética de poblaciones.  Hemos consultado en Internet los porcentajes de los grupos sanguíneos en España del sistema ABO. Internet (wilkipedia) nos ha proporcionado los resultados siguientes:

Fenotipo Grupo A = 42%; F. Grupo B=10%; F. Grupo AB=3% y F.  Grupo 0 = 45%

En frecuencias decimales: A= 0,42; B=0,10, AB = 0,03 y 0 = 0,45

Los genes alelos involucrados en estos genotipos son: Alelo A = frecuencia “a”; alelo B= frecuencia “b” y alelo 0 = frecuencia “c”. Según lo indicado en los artículos del post anteriores, sabemos que las frecuencias de los diferentes genotipos- supuesto que la población está en equilibrio-  se corresponden con el desarrollo del polinomio (a + b + c)2 . Su desarrollo es= a2 + b2 + c2 + 2.a.b + 2 a. c. + a. b. c; y su correspondencia por cada genotipo sería:

Genotipo AA = a2

Genotipo AO= 2 x a x c

Genotipo AB = 2 x a x b

Genotipo BB = b2

Genotipo BO = 2 x b x c

Genotipo OO = c2

Como conocemos que los alelos A y B son codominantes y ambos son dominantes sobre el alelo O,  Los fenotipos de grupo A comprenderían los genotipos AA y AO y en frecuencias=a2 +2.a.c; los fenotipos del grupo B comprenderían los genotipos BB y BO y en frecuencias = b2 + 2.b.c; los fenotipos del grupo AB sólo comprenderían al genotipo AB y en frecuencias 2.a.b ; y  los fenotipos del grupo O sólo comprenderían el genotipo OO y en frecuencias c2.

Para conocer las frecuencias génicas (supuesta la población en equilibrio) nos apoyamos inicialmente en el dato del fenotipo del grupo O, cuyo genotipo es OO y su frecuencia c2.   Asi “c”= raiz cuadrada de 0,45  = 0,6708.

Conociendo “c” podemos calcular “a”, sabiendo que 0,42 = a2 + 2. a. 0,6708. Tenemos una ecuación de segundo grado: a2 + 1,3416.a – 0,42 = 0 y, al resolverla tenemos para “a” 2 valores posibles:  + 0,2619 y -1,60 (descartamos el -1,60 por ser negativo y por superar el 1), así que el valor de “a” = 0,2619.

El valor de “b” lo sacamos de  a + b + c = 1; b = 1 –(a+c) = 1- (0,2619 + 0,6708) = 0,0673.

Si ya tenemos las frecuencias génicas decimales de los 3 alelos, solo falta comprobar si  se cumplen las frecuencias fenotípicas esperadas con las frecuencias reales que nos ha proporcionado internet para conocer el equilibrio poblacional español respecto a los grupos sanguíneos del sistema ABO.

(*) la suma debería ser igual a 1. No obstante se aproxima mucho y, esto es debido a no contar los decimales a partir de la cien milésima y siguientes en cada uno de los cálculos anteriores.

(**) Las diferencias entre las frecuencias genotípicas reales y esperadas en todos los casos son muy escasas y no son significativas(+) (hay que tener en cuenta que nos encontramos en un planteamiento estadístico). Podemos decir, por tanto, que la población española está en equilibrio genético respecto al sistema sanguíneo AB0.

(+) existen formas estadísticas de comprobar si esas desviaciones respecto al valor real son debidas a la falta de equilibrio poblacional o simplemente lo son debido al azar estadístico. En este caso resultan innecesarios puesto que la desviación es muy pequeña.

También –una vez calculadas las frecuencias génicas- podemos indicar la frecuencia de los genotipos homozigóticos y heterozigóticos para los diferentes genotipos

Genotipo AA–  Fenotipo A = a2 = 0,26192 = 0,06859161 = 6,8%, redondeando 7%

Genotipo A0– Fenotipo A = 2.a.c = 2x 0,2619 x 0,6708 = 0,35136504 = 35,13%, redondeo 35%

Genotipo BB – Fenotipo B = b2 = 0,06732 = 0,004529 = 0,45%

Genotipo B0 –Fenotipo B = 2.b.c = 2x 0,06723 x 0,6708 = 0,09019 = 9,02%

Genotipo AB –Fenotipo AB = 2.a.b = 2 x 0,2619 x 0,06723 = 0,03521 = 3,5%

Genotipo 00 –Fenotipo 0 = c2 = 0,67082 = 0,4499 = 45%

El genotipo más poco frecuente en la población española es el homozigótico del grupo B: aproximadamente 1 de cada doscientas personas (0,45 de cada 100).

 

Para entretenerse:

Os animamos a realizar un cálculo similar al anterior respecto a otro factor sanguíneo, el factor rH, que, como sabemos,  es un factor genético independiente del anterior y más sencillo ya que sólo está determinado por 2 alelos: rH+ y rH- , siendo el positivo dominante sobre el negativo.

Los datos, en la población española son los siguientes (según datos de la misma publicación anterior)

Fenotipo rH+  = 80,5%

Fenotipo rH- = 19,5 %

¿Podrías , además, calcular qué porcentaje de rH positivos y negativos le corresponde a cada uno de los fenotipos del sistema ABO y a cada uno de los genotipos?

 

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5
diciembre

Matemáticas y ADN (7b)

Genética de Poblaciones (2)

Continuamos con el post anterior para ver si también se cumplen sus conclusiones cuando se trata de genes con más de 2 alelos.

Si hubiera más de 2 alelos para un gen : Por ejemplo 3:  A1, A2, A3

Supongamos que  el cruzamiento inicial es A1 A2 x A2 A3

-Frecuencias génicas iniciales: A1 =1/4 =0,25; A2=2/4=0,5;A3=1/4= 0,25

-La primera generación dará:  1 A1 A2/ 1 A1 A3/ 1 A2 A2 / 1 A2 A3

-Las frecuencias génicas en esta primera generación son :A1 = 2/8 = 1/4 = 0,25; A2= 4/8= 1/2=0,5 y A3 = 2/8 = 1/4=0,25. Es decir que las frecuencias génicas son las mismas que la iniciales.

-Las frecuencias genotípicas son: A1 A2 =  1/4 = 0,25; A1 A3 = 1/4= 0,25; A2 A2 = 1/4=0,25 y A2 A3 = 1/4 = 0,25.

Pasemos a la 2ª generación :

Hagamos todos los cruzamientos posibles:

-La frecuencia de los genes: A1 = 12 +12+ 4 + 4= 32/ A2= 16+ 8 + 24+16 =64/ A3 = 4 +12 +4 +12 =32. Total genes (A1+A2+A3)= 128

Por tanto  la frecuencia de A1 = 32/128 = 0,25; la frecuencia decimal de A2 = 64/128= 0,5 y la de A3 = 32/128 = 0,25. Vemos que las frecuencias de los genes se mantiene.

Vayamos ahora a las frecuencias de los genotipos obtenidos

La suma total de los genotipos obtenidos= 4+16+8+16+116+4= 64

-Frecuencia Genotipo A1 A1= 4/64= 0,0625

-Frecuencia del Genotipo A1 A2 (=A2 A1) = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A1 A3 (A3 A1) = 8/64 = 0,125

-Frecuencia del Genotipo A2 A2 = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A2 A3 (=A3 A2) = 16/64 = 0,25

-Frecuencia del Genotipo A3 A3 = 4/64 = 0,0625

Si llamamos a la frecuencia génica de A1=a (0,25); de A2=b(0,5) y de A3=c(0,25)

a+b+c= 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1

(a +b +c)2 = a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0,252 + 0,52 + 0,252 + 2.0,25.0,5 +2.0,25.0,25 + 2. 0,5.0,25 = 0,0625 + 0,25 + 0,0625 +0,25+0,125 + 0,25 = 1

Vemos que también se cumple para 3 genes:

-Frecuencia del genotipo A1 A1 = a2 = 0,0625

-Frecuencia del genotipo A2 A2 = b2 = 0,25

-Frecuencia del genotipo A3A3 = c2 = 0,0625

-Frecuencia del genotipo A1 A2 (= A2 A1)=  2.a.b = 0,25

-Frecuencia del genotipo A1 A3 (=A3 A1) = 2.a.c =  0,125

-Frecuencia del genotipo A2 A3 (A3 A2) = 2.b.c = 0,25

Por tanto, si generalizamos, cuando los cruzamientos en una población se realizan al azar, la frecuencia de los diferentes genotipos en la misma se obtiene a partir de la fórmula polinómica de la suma de las frecuencias génicas de sus diferentes alelos, elevando ésta al cuadrado.

Los sumandos de las frecuencias génicas al cuadrado corresponden a los genotipos homozigóticos y los sumandos restantes a los heterozigóticos.

Por ejemplo: gen con 4 alelos:

(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2+ d2 + 2ab+ 2ac+ 2ad + 2bc+ 2bd + 2cd

a2 = frecuencia genotipo A1A1

b2= Frecuencia genotipo A2 A2

c2= frecuencia genotipo A3 A3

d2 = frecuencia  genotipo A4 A4

2ab= frecuencia genotipo A1 A2 (=A2A1)

2ac = frecuencia genotipo A1 A3 (=A3 A1)

2ad= frecuencia genotipo A1 A4 (= A4 A1)

2bc = frecuencia genotipo A2 A3 (=A3 A2)

2bd = frecuencia genotipo A2 A4 (=A4 A2)

2cd = frecuencia genotipo A3 A4 (= A4 A3)

Conclusión:

-Las frecuencias génicas y  genotípicas también permanecen constantes en las sucesivas generaciones de las poblaciones en el caso de genes con alelomorfismo múltiple (siempre y cuando los cruzamientos se realicen al azar y no haya variaciones de sus frecuencias génicas tal y como lo  expresamos en nuestro post anterior).

-Se perderá ese equilibrio en caso de variación de sus frecuencias génicas (mutaciones en alelos, emigración de individuos (más de un genotipo que de otros) de la población, inmigración de individuos (idem que en caso anterior) de otras poblaciones, selección de genotipos en la reproducción,…. y, en general cualquier causa que modifique las frecuencias génicas de partida). No obstante, transcurrido este evento, la población volverá a un nuevo equilibrio en sólo una generación posterior si las condiciones vuelven a ser las iniciales.

 

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2
diciembre

Matemáticas y ADN (7a)

Genética de Poblaciones (1)

Vamos ahora a intentar calcular cómo es la distribución de genes y genotipos a través de sucesivas generaciones. Para ello vamos a empezar -como lo realizamos siempre- con diferentes casos sencillos y seguir su rastro.

A.- Empecemos por la pareja que origina una población y supongamos que ambos son homozigóticos para los 2 alelos de un gen: A1 A1 y A2 A2. Y además van a tener una numerosa descendencia. En esta población inicial la frecuencia de los genes A1 y A2 son iguales = 50%; en frecuencia decimal= 0,5

-Al cruzarse producen para la siguiente generación individuos homogéneos: Todos A1A2 al recibir uno de los alelos de sus progenitores. El total de genes A1 = total de genes A2 en la población en la población de hijos. En frecuencias génicas: A1= 50% y A2 = 50% y en frecuencias decimales,  A1=0,5 y A2 = 0,5. Sus genotipos son 100% A1 A2

-Supongamos que los miembros de esta 1ª generación se crucen entre sí (realizando un cuadro De Punnet): producirán todos lo siguiente: 1/4 A1A1/ 1/4 A1A2/ 1/4 A2 A1 /1/4 A2 A2. Nota:  (A1A2 =A2 A1 a efectos genotípicos pero no así para su conteo). Total de genes A1=4 y de genes A2 =4. Las frecuencias génicas en esta 2ª generación: A1 = 50% y A2 =50%. Frecuencias decimales 0,5 y 0,5

El resultado de esta 2ª generación: En cuanto a los genotipos 1: 2: 1 (1 homogótico A1 A1; 2 heterozigóticos A1 A2 y 1 homozigótico A2 A2). Si los ponemos por sus frecuencias: 25%; 50% y 25% y si los ponemos por frecuencias decimales: 0,25/0,50/ 0,25

Pasemos a la siguiente generación (3ª generación) y, como en los casos  anteriores, consideraremos que cualquiera de los genotipos resultantes puede cruzarse con cualquiera de los genotipos (incluídos  aquellos que posean su mismo genotipo)

Nota: realizamos los cruzamientos según los Cuadros De Punnet para contemplar cuantitativamente todas las opciones posibles.

Sumando las frecuencias de  todos los genes A1 obtenidos en esta 3ª generación= 24+16+16+8 = 64

Sumando las frecuencias de  todos los gens A2 obtenidos en esta 3ª generación  = 8+16+16+24 = 64

Es decir que sigue existiendo igualdad de genes de A1 y de genes A2. Si lo ponemos en frecuencias: 50% y 50% y en frecuencias decimales, A1=  0,5 y A2 = 0,5.

Ahora contemos la frecuencia del el nº de genotipos obtenidos en esta 3ª generación:   (A1 A1// A1 A2 = A2A1// A2A2)

Veamos las frecuencias genotípicas: de un total de 16+32+16 =64; es decir 1:2:1

-16 son A1A1 = 16/64 x100=25%, y en frecuencia decimal 0,25

-32 son A1A2 (=A2A1) = 32/64 x 100 = 50%, y en frecuencia decimal 0,50

-16 son A2 A2 = 16/64 x100 = 25%, y en frecuencia decimal 0,25

Vemos que a partir de la segunda generación se mantienen las frecuencias de los genes presentes y también las frecuencias de los genotipos y la misma relación entre ellos.

¿Podemos buscar una relación entre las frecuencias de los genes y las de los genotipos?

¿Existe alguna relación matemática entre los números 0,5 y 0,5 (frecuencias génicas) con 0,25, 0,5 y 0,25 (frecuencias genotípicas)? . Nosotros hemos encontrado una (0,5 +0,5)2 = 0,52 + 0,52 + 2×0,5×0,5 = 0,25 +0,25 +0,5; o sea (a+b)2 = a2 +b2 + 2.a.b; siendo a= frecuencia decimal del gen A1 y b= frecuencia decimal del gen A2

B.- Veamos si también se cumple para otro tipo de presupuesto : Pareja inicial: A1A1 y A1 A2.

– En este caso tenemos que los genes A1 = 75% (3 de 4); 0,75 en frecuencia decimal y A2 = 25% (1 de 4); 0,25 en frecuencia decimal

– Veamos como en el caso anterior que la primera generación producirá: A1A1(2/4) = 50% y A1 A2(2/4)= 50%.

-Si pasamos a la segunda generación donde, como en el caso anterior, cualquiera de los genotipos se puede cruzar con cualquiera de los otros.

Sumando las frecuencias de los genes:

-Para el gen A1=  (14+10)= 24 de 32= 24/32 x100 = 75%; 0,75 en frecuencia decimal

-Para el gen A2 = (2 +6)= 8 de 32 = 8/32 x100= 25%; 0,25 en frecuencia decimal

-Como vemos las frecuencias génicas se mantienen, como en el caso anterior.

Los genotipos obtenidos son:

-Veamos ahora las frecuencias genotípicas: en total (9+6+1) = 16

-El genotipo A1A1 se da en 9 de 16; 9/16×100 = 56,25% = 0,5625 en frecuencia decimal

-El genotipo A1 A2 se da en 6 de 16; 6/16 x100 = 37,5% = 0,375 en frecuencia decimal

-El genotipo A2 A2 se da en 1 de 16; 1/16×100 =6,25% = 0,0625 en frecuencia decimal

Comprobamos  ahora si la fórmula indicada (a +b)2 = a2 +b2 +2ab cuadra con lo obtenido:

(0,75 + 0,25)2 = 0,752 + 0,252 + 2x 0,75x 0,25= 0,5625 + 0,0625 + 0,375. Efectivamente cuadra!.

Por lo tanto, podemos Concluir lo siguiente:

1-Siempre que los cruzamientos se realicen de todas las formas posibles y con la misma frecuencia para cada posibilidad (al azar), las frecuencias de los genes permanece constante en las sucesivas generaciones.

2-Las frecuencias genotípicas, en las condiciones anteriormente indicadas, también se mantendrán constantes de generación en generación, aunque inicialmente no respondan a esas frecuencias (1ª generación caso A; 1ª generación caso B) y, además esas frecuencias se recuperan con sólo una generación donde el cruzamiento sea al azar.

Es decir que aunque la población inicial no esté  -digamos que en ese porcentaje de equilibrio genotípico-, si se le deja reproducirse al azar, recupera dicho equilibrio en sólo una generación (sus frecuencias genotípicas permanecen constantes) y ese equilibrio podrá calcularse estadísticamente conociendo las frecuencias de las variantes de sus  genes (alelos), a través de la fórmula (a+b)2, siendo “a” la frecuencia decimal de uno de los alelos y “b” la frecuencia del otro (éstos si permanecen constantes siempre) y en los distintos sumandos de la fórmula:

a2= la frecuencia del genotipo homozigóticos del Alelo A1.

b2 = la frecuencia del genotipo homoziótico del Alelo A2

2.a.b = la frecuencia del genotipo heterozigótico A1 A2 (=A2 A1).

También a la inversa: conociendo las frecuencias genotípicas en una población en equilibrio, podrán calcularse, a partir de ellas, las frecuencias de sus diferentes alelos.

3-Las frecuencias génicas son las que determinan las frecuencias de los genotipos. Por     tanto basta con conocer las frecuencias genotípicas en una población para conocer si las frecuencias  genotípicas presentes en ella hacen de ella una población equilibrada y, por lo tanto si los cruzamientos que se han producido en ella son “azarosos” o no.

4-Es conveniente observar que la suma de las frecuencias génicas (a + b) da igual a 1 (totalidad genes). Por tanto (a+b)2 = 12 = 1. La suma de a2 + b2 + 2ab =1 (totalidad genotipos).

5-Todas estas conclusiones se conocen en Genética como la Ley de Hardy-Weinberg

 

 

 

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13
noviembre

Matemáticas y ADN (6)

Trabajando las potencias de 10

En la línea del horizonte parece que se une el cielo y la tierra:  grandes y pequeñas magnitudes, como en el ADN.

El ADN es una molécula química que tiene la particularidad de aunar magnitudes muy grandes y también muy pequeñas. El ADN tiene un calibre de grosor de 2,1 nm (nanómetros); 2 millonésimas de milímetro. Por otro lado, el ADN de una sola persona estirado alcanzaría una distancia fuera de nuestro sistema solar: 200 mil millones de Km = 200 Terámetros, distancia que recorrería la luz durante 8 días aproximadamente.

Esta introducción nos sirve para que, con el ADN, podamos realizar diferentes actividades con las diferentes unidades de longitud manejando las potencias de 10.

Macroscópicamente estamos acostumbrados a calibrar distancias como  milímetros, centímetros, decímetros, metros, decámetros, hectómetros, kilómetros, hasta decenas o centenares de Km, pero por debajo o por encima, la distancia se nos escapa y tenemos que acudir a otras unidades separadas entre sí 10 veces. En notación científica lo hacemos utilizando las potencias de 10.

Para comenzar, conozcamos las unidades habituales de longitud del sistema métrico decimal. Las principales Kilómetro (Km), Hectómetro (Hm), Decámetro (Dm), metro (m), decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm) van de 10 en 10 y por orden descendente: 1 Km = 10 Hm (101)= 100 Dm (102)= 1.000 m (103) = 10.000 dm (104) = 100.000 cm (105) = 1.000.000 mm (106), si lo hacemos en orden ascendente 1 mm = 1/10 cm (10-1) =1/100 dm (10-2) 0 1/1.000 m (1/10-3) = 1/10.000 Dm (1/10-4) = 1/100.000 Hm (10-5) = 1/1.000.000 Km (10-6).

Podemos también ponerlas en forma de tabla para considerar cada magnitud como unidad referente a las demás:

Para convertir magnitudes de unidades pequeñas en grandes: de la parte derecha  hacia la parte  izquierda de la tabla (potencias negativas) y al revés para convertir unidades grandes en su magnitud equivalente pequeña (potencias positivas).

Existe, no obstante, otras magnitudes más grandes y más pequeñas, pero que van de mil en mil (siendo las intermedias, décimas y centésimas).

Por arriba: Megámetro (Mm) (103Km), Gigámetro (Gm) (106 Km) Terámetro (Tm) (109 Km), Petámetro (Pm) (1012 Km).

Por debajo: micrómetro (µm) (10-3 mm), nanómetro (nm) (10-6 mm) picómetro (pm) (10-9 mm) y femtómetro (fm)  (10-12 mm)

Así, podríamos realizar una tabla aún mayor para incluir a todas ellas, e incluímos los espacios de 10 en 10 que nos faltan para las grandes y pequeñas unidades

Y del mismo modo rellenar las cuadrículas con las potencias de 10 correspondientes.

Nota:

Existen unas unidades de longitud que aún son usadas, aunque cada vez menos, para unidades pequeñas que son la micra (µ) que es equivalente al micrómetro (µm) (1µ = 1µm) y el Angström (Å) que figura en la tabla y que es equivalente a la décima parte del nanómetro (nm). 1nm = 10 Å. 

También, en ocasiones, al nanómetro también se le denominaba milimicra y se simbolizaba (mµ)  (1nm =1mµ). No confundir, por tanto “µm”(micrómetro=micra) con “mµ”(milimicra= nanómetro) si apareciesen en algún texto.

Ejemplos de actividades:

A-En el comentario inicial, hemos indicado todo que el ADN estirado de una persona alcanzaría una distancia de 200 terámetros (Tm).  El ADN de una sola célula humana con sus 46 cromosomas tiene 6.400 millones de pares de nucleótidos (pb). En el ADN, cada 10 (pb) pares de nucleótidos o pares de bases ( se completa una vuelta de hélice) y  se alcanza una longitud de 3,4 nm (nanómetros)

Calcular:

  • La longitud total del ADN estirado de una sola célula humana
  • El tamaño medio de un cromosoma humano en función de:
    • A) el nº de pb (pares de nucleótidos)
    • B) la longitud del ADN que contiene si éste estuviese estirado.
  • El nº de células estimado para el cálculo inicial (200 Tm) que componen un ser humano.

B- En un museo existe una maqueta (representación 3D) del ADN  realizada a escala de sus dimensiones reales en la que la distancia de separación entre los pares de bases representados en ella es de 30 cm.

Calcular:

  • El diámetro (sección) de la maqueta
  • La magnitud de la escala utilizada para realizarla (aumentos en la representación)
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